Lema de Borel-Cantelli

En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.[1][2][3][4][5]

Definición formal y demostraciónEditar

Sea   una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida   en los reales.   es la medida. Sea   la integral de f respecto de  . Supongamos que:

 

entonces por convergencia monótona  . Por ende la función   es finita c.t.p.- .

Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos   en  , o sea   y la medida   es de probabilidad entonces:   implica que   c.t.p.- , es decir, en  , el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos   tiene probabilidad cero.

Resultado inversoEditar

Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es casi lo inverso del primer lema. Para una medida   de probabilidad, dice así: dada una sucesión de conjuntos o sucesos independientes   en  , entonces   implica que   c.t.p.- , es decir, en  , el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos   tiene probabilidad uno.

BibliografíaEditar

ReferenciasEditar

  1. «Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019. 
  2. «The Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Archivado desde el original el 29 de agosto de 2017. Consultado el 29 de mayo de 2019. 
  3. «The Borel-Cantelli Lemma and its Applications» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019. 
  4. «Lema de Borel-Cantelli». Consultado el 29 de mayo de 2019. 
  5. Rincón, Luis (2007). «Curso intermedio de Probabilidad» (en esqañol). UNAM. Consultado el 29 de mayo de 2019.