Lema del número de Lebesgue

En topología, el lema del número de Lebesgue, nombrado así por Henri Lebesgue, es una herramienta útil en el estudio de espacios métricos compactos.​ Declara:

Si el espacio métrico $(X,d)$ es compacto y una cubierta abierta de $X$ está dada, entonces existe un número $\delta >0$ tal que cada subconjunto de $X$ con un diámetro menor a $\delta$, está contenido en algún miembro de la cubierta.

Tal número $\delta$ es llamado un número de Lebesgue de esta cubierta. La idea de un número de Lebesgue es útil en otras aplicaciones también.

Demostración

Sea ${\mathcal {U}}$ una cubierta abierta de $X$. Dado que $X$ es compacto podemos extraer un subcubierta finita $\{A_{1},\dots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}$ . Si cualquier conjunto $A_{i}$ equivale a $X$ entonces cualquier $\delta >0$ servirá como número de Lebesgue. En caso contrario para cada $i\in \{1,\dots ,n\}$, sea $C_{i}:=X\setminus A_{i}$, observemos que $C_{i}$ no está vacío, y definamos una función $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ como $f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})$.

Dado que $f$ es continua en un conjunto compacto, alcanza un $\delta$ mínima. La observación clave es que, dado que cada $x$ está contenido en algún $A_{i}$, el teorema de Weierstrass muestra que $\delta >0$. Ahora podemos verificar que esta $\delta$ es el número de Lebesgue deseado. Si $Y$ es un subconjunto de $X$ con un diámetro menor a $\delta$, entonces existe $x_{0}\in X$ tal que $Y\subseteq B_{\delta }(x_{0})$, donde $B_{\delta }(x_{0})$ denota la bola de radio $\delta$ con centro en $x_{0}$ (concretamente, uno puede escoger para $x_{0}$ cualquier punto en $Y$). Dado que $f(x_{0})\geq \delta$ tiene que existir al menos un $i$ tal que $d(x_{0},C_{i})\geq \delta$. Esto implica que $B_{\delta }(x_{0})\subseteq A_{i}$, en particular, $Y\subseteq A_{i}$.

Referencias

• Datos: Q1049869