Entero libre de cuadrados

número entero que no es divisible por un cuadrado exacto
(Redirigido desde «Libre de cuadrados»)

Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p2 divide a n. Esto quiere decir que los factores primos de n son todos distintos, luego

De esta forma, 10=2·5 es libre de cuadrados, pero 20=22·5 no lo es, porque es divisible por un cuadrado. Los primeros enteros libres de cuadrados son:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (sucesión A005117 en OEIS)

Alternativamente, si el número a al expresarlo como producto de factores primos, todos ellos tienen exponente 1, se dice que a es entero exento de cuadrados.[1]

Función generadora de DirichletEditar

Si q(n)=1, donde n es un entero que no contiene ningún cuadrado en su factorización y q(n)=0 donde n contiene uno o más cuadrados en su factorización, la función q(n) viene definida como  , siendo μ(n) la función de Möbius. Entonces, la función generadora de Dirichlet para los enteros libres de cuadrados es

 

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann. Esto puede ser visto fácilmente del producto de Euler

 

Distribución de los números libres de cuadradosEditar

Si Q(x) indica el número de números libres de cuadrados menores o iguales que x, entonces

 

(véase π).
La densidad de los números libres de cuadrados es, por tanto,

 

ReferenciasEditar

  1. Niven y Zuckerman: Introducción a la teoría de números, Limusa, México 1985

Enlaces externosEditar