Método de Lax-Friedrichs

El método de Lax-Friedrichs, llamado así por Peter Lax y Kurt Otto Friedrichs, es un método numérico para la solución de ecuaciones hiperbólicas en derivadas parciales basado en las diferencias finitas. El método puede ser descrito como un esquema FTCS con un término de viscosidad artificial de 1/2. Uno puede ver el método de Lax-Friedrichs como una alternativa al esquema de Godunov, donde se evita la solución de un problema de Riemann en cada interfaz celular, a expensas de la adición de viscosidad artificial.

Ejemplo para un problema linealEditar

Consideremos una ecuación hiperbólica en derivadas parciales lineal y unidimensional para   de la forma:

 

en el dominio

 

con la condición inicial

 

y las condiciones de frontera

 
 

Si se discretiza el dominio   a una cuadrícula de puntos igualmente espaciados con una separación de   en el eje   y   en el eje  , definimos

 

donde

 

son integrales representando los números de los intervalos de la cuadrícula. Entonces el método de Lax-Friedrichs para resolver la ecuación en derivadas parciales está dado por:

 

O reescribiéndolo para resolver la incógnita  

 

Donde los valores iniciales y los nodos de frontera que se toman son

 
 
 

Extensión a problemas no linealesEditar

Una ley de conservación hiperbólica no lineal se define a través de una función de flujo  :

 

En el caso de  , nos encontramos con un problema lineal escalar. Tengamos en cuenta que, en general,   es un vector con   ecuaciones. La generalización del método de Lax-Friederichs a sistemas no lineales toma la forma

 

Este método es conservativo y una aproximación de primer orden, por lo tanto, bastante disipativo. Puede, sin embargo, ser utilizado como un bloque para la construcción de esquemas numéricos de orden más alto para resolver ecuaciones hiperbólicas en derivadas parciales, al igual que los pasos de Euler se pueden utilizar como un bloque para la creación de integradores numéricos de orden superior para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Nótese que este método puede ser escrito de la forma conservativa:

 

donde

 

Sin los términos extra   y   en el flujo discreto,  , uno termina con el esquema de FTCS, que es bien conocido por ser incondicionalmente inestable para problemas hiperbólicos.

Estabilidad y exactitudEditar

Este método es explícito y una aproximación de primer orden en el tiempo y de segundo orden en el espacio previsto  son funciones suficientemente regulares. En estas condiciones, el método es estable si y sólo si la siguiente condición se satisface:

 

ReferenciasEditar