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En física matemática, las matrices gamma, , también conocidas como matrices de Dirac, son un conjunto de matrices convencionales junto con unas relaciones de anticonmutación que aseguran que generen una representación matricial del álgebra de Clifford . También es posible definir matrices gamma en más dimensiones. Interpretadas como las matrices de la acción de un conjunto de vectores de una base ortogonal para vectores contravariantes en el espacio de Minkowski, los vectores columna sobre los que actúa la matriz se transforman en un espacio de espinores, sobre los que actúa el álgebra de Clifford del espaciotiempo. Esto a su vez hace posible representar rotaciones espaciales y transformaciones de Lorentz infinitesimales. El empleo de espinores en general facilita los cálculos en el espaciotiempo, y en particular es fundamental en la ecuación de Dirac para partículas relativistas de espín ½.

En la representación de Dirac, las cuatro matrices gamma contravariantes son

es una matriz tipo tiempo y el resto son matrices tipo espacio.

Se pueden definir conjuntos análogos de matrices para cualquier dimensión y signatura de la métrica. Por ejemplo, las matrices de Pauli forman un conjunto de matrices "gamma" en dimensión 3 con signatura métrica euclidiana (3,0). En cinco dimensiones espaciotemporales, las cuatro matrices gamma de arriba junto con la quinta matriz gamma, presentada más abajo, generan el álgebra de Clifford.

Estructura matemáticaEditar

La propiedad que define que las matrices gamma matrices generan un álgebra de Clifford es la relación de anticonmutación

 

donde   es el anticonmutador,   es la métrica de Minkowski con signatura (+ − − −) y   es la matriz identidad 4 × 4.

Esta propiedad es más fundamental que los valores numéricos utilizados en una representación concreta de las matrices gamma. La versión covariante gamma las matrices están definidas por

 

empleando la notación de Einstein.

Nota que con la signatura métrica opuesta, (− + + +) o bien hay que cambiar la ecuación:

 

o bien multiplicar todas las matrices gamma por  , lo que naturalmente modifica las propiedades de hermiticidad. Con la convención de signatura alternativa las matrices gamma covariantes son entonces

 .

Estructura físicaEditar

El álgebra de Clifford   sobre el espacio-tiempo   puede ser considerado como el conjunto de operadores lineales reales de   a  ,   o más generalmente, al complexificar a  , como el conjunto de operadores lineales de cualquier espacio vector complejo dimensional 4 a sí mismo. Dicho de un modo más simple, dada una base para V,   es el conjunto de todas las matrices complejas 4 ×4, pero dotado con una estructura de álgebra de Clifford. Se supone que el espacio-tiempo está dotado con una métrica de Minkowski   y un espacio de biespinores   en cada punto del espacio-tiempo con la representación biespinorial del grupo de Lorentz. Los campos biespinoriales   de las ecuaciones de Dirac, evaluados en cualquier punto   en espacio-tiempo, son elementos de  . El álgebra de Clifford asimismo actúa en   (por multiplicación matricial con vectores de columna   en   para todo  ). Como se verá, esta será la función primaria de los elementos de   en esta sección.

Para cada transformación lineal   de  , hay una transformación de   dada por   para   en  . Si   pertenece a una representación del grupo de Lorentz, la acción inducida     también pertenecerá a una representación del grupo de Lorentz.

Si   es la representación biespinorial que actúa en   de una transformación de Lorentz   arbitraria en el la representación estándar (cuadrivector) que actúa en  , entonces hay un operador correspondiente en   =   dado por

 

demostrando que   puede ser vista como la base de un espacio de representación de la representación de cuadrivectores del grupo de Lorentz que se encuentra dentro del álgebra de Clifford. Esto significa que las cantidades de la forma

 

deberían de ser tratadas como cuadrivectores en las manipulaciones. También significa que los índices de γ se pueden subir y bajar utilizando la métrica   como con cualquier cuadrivector. La notación presentada se llama notación slash de Feynman. La operación slash lleva los vectores unitario   de  , o de cualquier espacio vectorial de dimensión 4, a la base de vectores  . La regla de transformación para cantidades con slash es sencillamente

 

Hay que notar que esto es diferente de la regla de transformación para los  , que son ahora tratados como una base vectorial (fija). La designación de la tupla ( ) = ( ,  ,  ,  ) como cuadrivector que se hace a veces en la literatura puede llevar a errores. Eso correspondería a una transformación activa de los componentes de una cantidad con slash en términos de la base  , y la forma anterior a una transformación pasiva de la propia base  .

Los elementos   forman una representación del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Es una representación con espín. Cuando se hacen exponenciales de estas matrices y de sus combinaciones lineales, se obtienen representaciones biespinoriales del grupo de Lorentz, por ejemplo, el   usado anteriormente. El espacio de 6 dimensiones generado por   es el espacio de representación de una representación tensorial del grupo de Lorentz.

Expresión de la ecuación de DiracEditar

En unidades naturales, la ecuación de Dirac puede ser escrita como

 

donde   es un espinor de Dirac.

Cambiando a la notación de Feynman, la ecuación de Dirac es

 

La quinta matriz gamma, γ5Editar

Es útil definir el producto de cuatro matrices gamma:

  (En la base de Dirac).

A pesar de que utiliza la letra gamma,   no es una de las matrices gamma de  . El número 5 es una reliquia de la antigua notación en la que se llamaba " " a  

  tiene una definición alternativa:

 

Esta matriz es útil al emplear el concepto de quiralidad. Por ejemplo, se puede proyectar un campo de Dirac sus componentes levógira y dextrógira mediante:

 .

Algunas propiedades:

  • Es hermítica:
 
  • Sus autovalores son ±1 porque:
 
  • Anticonmuta con las cuatro matrices gamma:
 

El conjunto   por lo tanto, por las últimas dos propiedades y las del resto de matrices gamma, forma la base del álgebra de Clifford en 5 dimensiones del espacio-tiempo para la signatura métrica (1,4).[1]​ En la signatura (4,1), se usa el conjunto  , donde las   son las apropiadas para la signatura (3,1).[2]​ Este patrón se repite para cualquier dimensión de espacio-tiempo par   y la dimensión impar siguiente   para todo  .[3]

IdentidadesEditar

Las identidades siguientes se siguen de las relaciones fundamentales de anticonmutación, así que son válidas en cualquier base (aunque la última depende de la elección del signo para  ).

Identidades variasEditar

Num Identidad
1  
2  
3  
4  
5  

Identidades de la trazaEditar

Las matrices gamma obedecen las siguientes identidades de traza:

Num Identidad
0  
1 La traza de cualquier producto de un número impar de   es cero
2 La traza de   por un producto de un número impar de   también es cero
3  
4  
5  
6  
7  

Para demostrar estas identidades se necesitan tres propiedades de la traza:

  •  
  •  
  •  

HermiticidadEditar

Se puede escoger la forma de las matrices gamma con condiciones adicionales de hermiticidad, restringidas por las relaciones de anticonmutación. Podemos imponer

 , compatible con  

y para el resto de matrices (para k = 1, 2, 3)

 , compatible con  

Se comprueba inmediatamente que estas propiedades de hermiticidad se cumplen para la representación de Dirac.

Estas relaciones se pueden resumir como

 

Las condiciones de hermiticidad no son invariantes bajo la acción   de una transformación de Lorentz   porque   no es necesariamente una transformación unitaria debido que el grupo de Lorentz no es compacto.

Notación slash de FeynmanEditar

La notación slash de Feynman está definida por

 

para cualquier cuadrivector a.

Aquí se presentan algunas identidades que involucran la notación slash:

 
 
 
 
 
 
 
 
donde
  es el símbolo de Levi-Civita y  

Otras representacionesEditar

Base de DiracEditar

Las matrices gamma escritas hasta ahora son las apropiadas para actuar sobre espinores de Dirac escritos en la base de Dirac; de hecho las base de Dirac está definida por estas matrices. Para resumir, en la base de Dirac:

 

Base de Weyl (quiral)Editar

Otra elección común es la base de Weyl o quiral, en la que las   tienen la misma forma pero no  , y   es diagonal,

 

o en notación más compacta:

 

La base de Weyl tiene la ventaja que las proyecciones quirales toman una forma sencilla,

 

La idempotencia de las proyecciones quirales es evidente. Con un ligero abuso de notación, reusando los símbolos   se puede identificar

 

donde ahora   y   son los espinores de Weyl (de dos componentes) levógiro y dextrógiro.

Otra elección posible de la base de Weyl la base es[4]

 

Las proyecciones quirales toman una forma ligeramnete deferente

 

En otras palabras,

 

donde   y   son de nuevo los espinores de Weyl levógiro y dextrógiro.

Base de MajoranaEditar

En la base de Majorana todas las matrices gamma son imaginarias y los espinores reales. En términos de las matrices de Pauli, se pueden escribir como

 
 

La razón para hacer las matrices gamma imaginarias es obtener la signatura (+,−,−,−) en la que las masas al cuadrado son positivas. Aun así la representación de Majorana es real. Se puede eliminar la   para obtener otra representación distinta con matrices gamma y espinores reales pero con la signatura (−,+,+,+).

Matrices de Dirac euclídeasEditar

En teoría de campos cuánticos se puede hacer una rotación de Wick del eje temporal para pasar del espacio de Minkowski al espacio euclídeo. Esto es particularmente útil en algunos procedimientos de renormalización así como en teoría gauge en el retículo. En el espacio euclídeo, hay dos rpresenatciones usadas frecuentemente:

Representación quiralEditar

 

Notar que los factores   se encuentran en las matrices espaciales para obtener el álgebra de Clifford

 

También hay que notar que hay variantes de esta representación en las que se usa un factor   en una de las matrices espaciales, como en los códigos de QCD en el retículo.

En espacio euclídeo,

 

Utilizando el anti-conmutador y notando que en el espacio euclídeo  , se demuestra que

 

En la base quiral en espacio euclídeo

 

que es igual a la versión de Minkowski.

Representación no relativistaEditar

 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. The reason for the notation γ5 is because that set of matrices (ΓA) = (γμ, 5) with A = (0, 1, 2, 3, 4) satisfy the five-dimensional Clifford algebra {ΓA, ΓB} = 2ηAB.
  2. Weinberg 2002 Section 5.5.
  3. de Wit & Smith 1996, p. 679.
  4. Michio Kaku, Quantum Field Theory, ISBN 0-19-509158-2, appendix A

Enlaces externosEditar