Matriz nilpotente

elemento algebraico matricial con alguna potencia con elementos nulos.

En álgebra lineal, una matriz se dice que es nilpotente si existe tal que . Se llama indice de nilpotencia o se dice que es de indice (o de orden) y se define como .

TeoremaEditar

Si   es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.

DemostraciónEditar

Si A es una matriz nilpotente de orden k,  

Por lo tanto:  

Luego:   por lo que  

El recíproco no es cierto: la matriz

 

tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una condición necesaria y suficiente es que la matriz no tenga autovalores diferentes de cero, en ese caso la matriz es nilpotente.

EjemplosEditar

La matriz

 

es nilpotente, ya que M2 = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

 

es nilpotente, con

 

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de ceros en las entradas, no todas las matrices nilpotentes lo tienen. Por ejemplo, las matrices

 

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

Propiedades adicionalesEditar

  • Si N es nilpotente, entonces I + N es invertible, donde I es la matriz identidad de orden n (n × n). El inverso viene dado por:
 
donde sólo un número finito de términos del desarrollo anterior es diferente de cero.
  • Si N es nilpotente, entonces
 
donde I es de nuevo la matriz identidad de orden n. Recíprocamente, si A es una matriz y
 
para todos los valores de t, entonces A es nilpotente.
  • Toda matriz singular (con determinante nulo) puede escribirse como producto de matrices nilpotentes.[1]

GeneralizacionesEditar

Un operador lineal T es localmente nilpotente si para todo vector v, existe un k tal que

 

Para operadores sobre espacios vectoriales de dimensión finita, la nilpotencia local equivale a la nilpotencia convencional.

ReferenciasEditar

  1. R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3