Número primo de Wieferich

En matemáticas, un número primo de Wieferich es un número primo tal que divide a . Nótese la similitud con el pequeño teorema de Fermat, que afirma que cada número primo divide a . Los primeros números primos de Wieferich fueron descritos por primera vez por Arthur Wieferich en 1909 en sus trabajos relativos al último teorema de Fermat.

La investigación de los números primos de WieferichEditar

Los únicos números de Wieferich conocidos son 1093 y 3511 (sucesión A001220 en OEIS), hallados por W. Meissner en 1913 y N. G. W. H. Beeger en 1922, respectivamente; si existen otros, deben ser mayores que  .[1]​ Se ha conjeturado que solo existe un número finito de números primos de Wieferich, aunque J. H. Silverman demostró en 1988 que si la conjetura abc es válida, para todo número entero positivo  , existen infinitos números primos   tal que   no divide a  .

Propiedades de los números primos de WieferichEditar

Números de Wieferich y números de MersenneEditar

Un número de Mersenne es definido como   (donde   es primo) y por el pequeño teorema de Fermat se sabe que   es siempre divisible por un número primo  . Aún más, podría ser que   fuera un factor primo de  , incluso   es divisible por  .

De la definición de un número   primo de Wieferich, tenemos que   es divisible entre   y no solamente entre  .   podría ser un factor de  , y   todavía divisible entre  ; por lo que surge la pregunta de si existe un número de Mersenne   que sea también divisible entre  , o incluso ser él mismo un primo de Wieferich.

Puede demostrarse que

Si   divide a  , y   divide a  , donde   es un divisor primo de  
Entonces también   debe dividir a  ; por lo que   contendría un cuadrado (y no podría ser primo).

Los dos primos de Wieferich,   y   no satisfacen la condición de divisibilidad por un número de Mersenne   con exponente primo  ; de hecho se conjetura que ningún primo de Wieferich es un factor de un número de Mersenne. Aunque no se han encontrado contraejemplos, se desconoce si la afirmación es cierta o no, por lo que surge la siguiente pregunta:

¿Son todos los números de Mersenne no cuadrados?

Ya que cualquier   conteniendo un primo de Wieferich   debe contener también  , se sigue inmediatamente que no sería primo. Entonces,

Un primo de Mersenne no puede ser un primo de Wieferich.

Generalización ciclotómicaEditar

Para una generalización ciclotómica de la propiedad de los primos de Wieferich,   divisible entre   existen soluciones como

 

e incluso con exponentes mayores que dos, como en

  divisible entre  .

Otras propiedadesEditar

  • Si   es un primo de Wieferich, entonces  .

Los números primos de Wieferich y el último teorema de FermatEditar

El teorema siguiente, que conecta los números primos de Wieferich y el último teorema de Fermat fue demostrado por Wieferich en 1909:

Sea p un número primo y sean x, y, z números naturales de tal forma que  .  Además, supongamos que el producto x·y·z es divisible por p. Entonces p es un número primo de Wieferich.

En 1910, Mirimanoff fue capaz de desarrollar el teorema al mostrar que si los requisitos del teorema son válidos para un cierto número primo  , entonces   debe dividir también a  . Los números primos de este tipo han sido llamados los números primos de Mirimanoff, pero el nombre no se ha generalizado.

Véase tambiénEditar

Referencias e información suplementariaEditar

  • A. Wieferich, "Zum letzten Fermat'schen Theorem", Journal für Reine Angewandte Math., 136 (1909) 293-302
  • N. G. W. H. Beeger, "On a new case of the congruence 2p − 1 = 1 (p2), Messenger of Math, 51 (1922), 149-150
  • W. Meissner, "Über die Teilbarkeit von 2pp − 2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093, Sitzungsber. Akad. d. Wiss. Berlín (1913), 663-667
  • J. H. Silverman, "Wieferich's criterion and the abc-conjecture", Journal of Number Theory, 30:2 (1988) 226-237

Enlaces externosEditar