Pentación

operación aritmética

En matemáticas, la pentación es la hiperoperación que le sigue a la tetración y es anterior a la hexación. Se define como la iteración (repetición) de tetraciones, tal y como la tetración es la iteración de la potenciación.[1]​ Es una operación binaria definida con dos números a y b, donde a es «tetrado» a sí mismo b veces. por ejemplo, usando la notación de hiperoperación para la pentación y tetración, quiere decir «tetrar» 2 a sí mismo 3 veces, o . Esto se puede después reducir a

Los primeros tres valores de la expresión x[5]2. El valor de 3[5]2 es alrededor de 7.626 × 1012; los resultados para valores de x mayores son demasiado grandes para aparecer en la gráfica.

Etimología

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La palabra «pentación» fue acuñada por Reuben Goodstein en 1947 de las raíces penta- (cinco) e iteración. Es parte de su esquema general para nombrar a las hiperoperaciones.[2]

Notación

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No existe un consenso general para la notación de la pentación; por lo tanto existen varias maneras de escribir la operación. Sin embargo, unas se usan más que otras y existen distintas ventajas entre una y otra forma de uso.

  • La pentación se puede escribir como una hiperoperación como  . En este formato,   puede ser interpretado como el resultado de aplicar repetidamente la función  , por   repeticiones, comenzando con el número 1. De forma análoga,  , la tetración, representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función  , por   repeticiones, comenzando con el número 1, y la pentación   representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función  , por   repeticiones, comenzando con el número 1.[3]​ Esta será la notación usada en el resto del artículo
  • En la notación flecha de Knuth,   se representa como   o  . En esta notación,   representa a la función de potenciación   y   representa a la tetración. La operación puede adaptar fácilmente la hexación añadiendo otra flecha.
  • En la notación de cadena de Conway,  .[4]
  • Otra notación propuesta es  , aunque esta no es extensible a hiperoperaciones de mayor orden.[5]

Ejemplos

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Los valores de la función de pentación también pueden ser obtenidos de los valores en la cuarta fila de valores en una variante de la función de Ackermann: si   se define como la recurrencia de Ackermann   con las condiciones iniciales   y  , entonces  .[6]

Como la tetración, su operación base, no ha sido extendida a alturas no-enteras, la pentación   actualmente sólo está defnida para valores enteros de a y b donde   y  , y unos pocos valores enteros adicionales que podrían estar únicamente definidos. Como todas las hiperoperaciones de orden 3 y mayor, la pentación tiene los siguientes casos triviales (identidades) que son verdaderos para todos los valores de a y b en su dominio:

  •  
  •  

Adicionalmente, se puede definir:

  •  
  •  

Además de los casos triviales arriba expuestos, la pentación genera números extremadamente grandes muy rápidamente tal que sólo hay unos pocos casos no-triviales que producen números que pueden ser escritos en notación convencional, como se muestra a continuación:

  •  
  •  
  •   (se muestra aquí en notación de exponentes iterados ya que es demasiado grande para ser escrito en notación convencional. Nótese que  )
  •  
  •  
  •   (un número con más de   dígitos)
  •   (un número con más de   dígitos)

Véase también

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Referencias

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  1. Oettinger, Anthony G.; Aiken, Howard. «Retiring computer pioneer—». Communications of the ACM 5 (6): 298-299. ISSN 0001-0782. doi:10.1145/367766.367776. Consultado el 8 de marzo de 2019. 
  2. Library, Cornell University (2 de julio de 2007). «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory». Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123-129. ISSN 0022-4812. Consultado el 8 de marzo de 2019. 
  3. Knuth, Donald E. (17 de diciembre de 1976). «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness». Science 194 (4271): 1235-1242. ISSN 0036-8075. PMID 17797067. doi:10.1126/science.194.4271.1235. Consultado el 8 de marzo de 2019. 
  4. Conway, John Horton; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 61, ISBN 9780387979939 ..
  5. «Copia archivada». Archivado desde el original el 6 de mayo de 2021. Consultado el 8 de marzo de 2019. 
  6. Nambiar, K. K. (1995). «Ackermann functions and transfinite ordinals». Applied Mathematics Letters (Nueva Delhi) 8 (6): 51-53. Consultado el 7 de marzo de 2019. l