Polinomios de Hermite

Los polinomios de Hermite son un ejemplo de polinomios ortogonales que encuentran su principal ámbito de aplicaciones en mecánica cuántica, sobre todo en el estudio del oscilador armónico unidimensional. Son nombrados así en honor de Charles Hermite.

Los cinco primeros polinomios de Hermite (probabilísticos').

Definición

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Los polinomios de Hermite se definen como:

 

(los "polinomios de Hermite probabilísticos") o, a veces, como (los "polinomios de Hermite físicos"):

 

Estas dos definiciones no son exactamente equivalentes; una es un reescalado trivial de la otra:

 .

Los polinomios físicos pueden expresarse como:

 

Propiedades

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Ortogonalidad

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  es un polinomio de grado n, con n = 0, 1, 2, 3, .... Estos polinomios son ortogonales con respecto de la función peso (medida)

  (probabilista)

o

  (física)

es decir

 
  (probabilista)

o

  (física)

donde   es la delta de Kronecker, que vale la unidad cuando n = m y cero en otro caso. Los polinomios probabilísticos son ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal.

Función generadora

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Fórmulas de recurrencia

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Los polinomios de Hermite (en su forma "física") satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:

 
 

Recurrencia integral

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Una recurrencia integral que se deduce y demuestra en [1]​ son las que siguen:  

 

  • A través de estas recurrencias se obtienen los primeros polinomios de Hermite aplicados a la probabilidad son:

 

  • y los primeros polinomios de Hermite aplicados a la física son:

 

Referencias

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  1. Hurtado Benavides, Miguel Ángel. (2020). De las sumas de potencias a las sucesiones de Appell y su caracterización a través de funcionales. [Tesis de maestría]. Universidad Sergio Arboleda.

Bibliografía

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  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.