En matemáticas, los polinomios secundarios
asociados con una sucesión matemática
de polinomios ortogonales con respecto a una densidad
se definen por
![{\displaystyle q_{n}(x)=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac769cb45fb6fe3e4b19b78c7170202c71fdc713)
Para ver que las funciones
son polinomios, considérese el ejemplo simple de
. Entonces,
![{\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}(x)&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {t^{3}-x^{3}}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {(t-x)(t^{2}+tx+x^{2})}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!(t^{2}+tx+x^{2})\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!t^{2}\rho (t)\,dt+x\int _{\mathbb {R} }\!t\rho (t)\,dt+x^{2}\int _{\mathbb {R} }\!\rho (t)\,dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819e180e510fb0734b15cf7a80ea89e55f009138)
que es un polinomio en
tal que las tres integrales en
(los momentos de la densidad
) sean convergentes.