Problema del momento de Stieltjes

En matemáticas, el problema del momento de Stieltjes, que lleva el nombre de Thomas Joannes Stieltjes, busca las condiciones necesarias y suficientes para que una sucesión (m₀, m₁, m₂, ... ) sea de la forma​

$m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$

para alguns medida μ. Si tal función μ existe, debe analizarse si es única.

La diferencia esencial entre este y otros problema de los momentos conocidos es que el de Stieltjes se aplica sobre una semirrecta [0,∞), mientras que en el Problema del momento de Hausdorff se considera un intervalo acotado [0, 1], y en el problema del momento de Hamburger se considera toda la recta real (−∞, ∞).

Existencia

Sea

$\Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right]$

y

$\Delta _{n}^{(1)}=\left[{\begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{matrix}}\right].$

Entonces { m_n : n = 1, 2, 3, ... } es una secuencia de momentos de alguna medida en $[0,\infty )$ con soporte infinito si y solo si para todos los n, ambos

$\det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0.$

{ m_n : n = 1, 2, 3, ... } es una secuencia de momentos de alguna medida sobre $[0,\infty )$ con soporte finito de tamaño m si y solo si para todo $n\leq m$, ambos

$\det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0$

y para todos los $n$ más grandes

$\det(\Delta _{n})=0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)=0.$

Unicidad

Hay varias condiciones suficientes para la unicidad, por ejemplo, la condición de Carleman establece que la solución es única si

$\sum _{n\geq 1}m_{n}^{-1/(2n)}=\infty ~.$

Bibliografía

• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness, Methods of modern mathematical physics 2, Academic Press, p. 341 (exercise 25), ISBN 0-12-585002-6 .

• Datos: Q7616380