En matemáticas , la reducción de orden es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones (
y
1
{\displaystyle y_{1}}
y
2
{\displaystyle y_{2}}
Dada una ecuación diferencial
y
″
+
p
(
t
)
y
′
+
q
(
t
)
y
=
0
{\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=0\,}
y una sola solución (
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{1}(t)}
y
2
=
v
(
t
)
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,}
donde
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
función arbitraria. Así,
y
2
′
=
v
′
(
t
)
y
1
(
t
)
+
v
(
t
)
y
1
′
(
t
)
{\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,}
y
y
2
″
=
v
″
(
t
)
y
1
(
t
)
+
2
v
′
(
t
)
y
1
′
(
t
)
+
v
(
t
)
y
1
″
(
t
)
.
{\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,}
Si se sustituyen por
y
{\displaystyle y}
y
′
{\displaystyle y'}
y
″
{\displaystyle y''}
y
1
(
t
)
v
″
+
(
2
y
1
′
(
t
)
+
p
(
t
)
y
1
(
t
)
)
v
′
+
(
y
1
″
(
t
)
+
p
(
t
)
y
1
′
(
t
)
+
q
(
t
)
y
1
(
t
)
)
v
=
0.
{\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=0.}
Como
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{1}(t)}
y
1
″
(
t
)
+
p
(
t
)
y
1
′
(
t
)
+
q
(
t
)
y
1
(
t
)
=
0
{\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}
y
1
(
t
)
v
″
+
(
2
y
1
′
(
t
)
+
p
(
t
)
y
1
(
t
)
)
v
′
=
0
{\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=0}
que es una ecuación diferencial de primer orden por
v
′
(
t
)
{\displaystyle v'(t)}
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{1}(t)}
v
″
+
(
2
y
1
′
(
t
)
y
1
(
t
)
+
p
(
t
)
)
v
′
=
0
{\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'=0}
y
v
′
(
t
)
{\displaystyle v'(t)}
método general :
v
′
(
t
)
=
C
1
1
y
1
2
(
t
)
e
−
∫
p
(
t
)
d
t
{\displaystyle v'(t)=C_{1}{\frac {1}{y_{1}^{2}(t)}}e^{-\int p(t)dt}}
Una vez se ha encontrado
v
′
(
t
)
{\displaystyle v'(t)}
y
2
{\displaystyle y_{2}}
y
2
=
v
(
t
)
y
1
(
t
)
.
{\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t).\,}
Datos: Q1430365