Relaciones de Cardano-Vieta

Sea el polinomio perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces (pertenecientes a C [1]​), entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades :

. . .

. . .

Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.

Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).

DemostraciónEditar

Factorizamos el polinomio:

 

Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada término  , donde  :

 

 

 

 

 

 

 

De aquí ya se obtienen de inmediato las fórmulas de Cardano-Vieta.

ReferenciasEditar

  1. Por ser ℂ algebraicamente cerrado y por el Teorema fundamental del álgebra