Sistema lagrangiano

En matemáticas, un sistema lagrangiano[1]​ es un par (Y, L), que consiste en un fibrado suave YX y una densidad lagrangiana L, lo que hace que el operador diferencial de Euler-Lagrange actúe en secciones de YX.

En mecánica clásica, muchos sistemas dinámicos son sistemas lagrangianos. El espacio de configuración de dicho sistema lagrangiano es un haz de fibras Q → ℝ en el eje de tiempo sobre . En particular, Q = ℝ × M si un marco de referencia es fijo. En teoría clásica de campos, todos los sistemas de campo lo son de Lagrange.

Lagrangianos y operadores de Euler-LagrangeEditar

Una densidad lagrangiana L (o, simplemente, un lagrangiano) de orden r se define como una n-forma, n = dim X, de variedades de jets orden r JrY sobre Y.

Un lagrangiano L puede ser introducido como un elemento del bicomplejo variacional del álgebra graduada diferencial O(Y) de formas exteriores en la variedad de jets de YX. El operador cohomólogo de este bicomplejo contiene el operador variacional δ que, actuando en L, define el operador asociado de Euler-Lagrange δL.

En coordenadasEditar

Dado el haz coordenado xλ, yi en un haz de fibras Y y las coordenadas adaptadas xλ, yi, yiΛ, (Λ = (λ1, ...,λk), |Λ| = kr) en las variedades de jets JrY, un lagrangiano L y su operador de Euler-Lagrange se expresan como

 
 

donde

 

denotan las derivadas totales.

Por ejemplo, un lagrangiano de primer orden y su operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma

 

Ecuaciones de Euler-LagrangeEditar

El núcleo de un operador de Euler-Lagrange proporciona las ecuaciones de Euler-Lagranges δL = 0.

Cohomología y los teoremas de NoetherEditar

Una cohomología del bicomplejo variacional conduce a la llamada fórmula variacional

 

donde

 

es el diferencial total y θL es un equivalente de Lepage de L. El teorema de Noether y el segundo teorema de Noether son corolarios de esta fórmula variacional.

Variedades clasificadasEditar

Extendido a variedades clasificadas, el bicomplejo variacional proporciona una descripción de los sistemas lagrangianos clasificados de variables pares e impares.[2]

Formulaciones alternativasEditar

De manera diferente, los operadores lagrangianos, los de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange se introducen en el marco del cálculo de variaciones.

Mecánica clásicaEditar

En la mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden en una variedad M o varios haces de fibras Q sobre . Una solución de las ecuaciones de movimiento se llama movimiento.[3][4]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Marco Mazzucchelli (2011). Critical Point Theory for Lagrangian Systems. Springer Science & Business Media. p. 188. ISBN 9783034801638. Consultado el 29 de septiembre de 2018. 
  2. Sardanashvily, 2013
  3. Arnold, 1989, p. 83
  4. Giachetta, Mangiarotti y Sardanashvily, 2011, p. 7

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar