Subdivisión baricéntrica

forma de dividir un complejo simplicial

En matemáticas, la subdivisión baricéntrica es una forma estándar de subdividir un símplex determinado en otros más pequeños. Su extensión a complejos simpliciales es un método canónico para refinarlos. Por lo tanto, la subdivisión baricéntrica es una herramienta importante en topología algebraica.[1]

Iteraciones desde la 1ª a la 4ª subdivisión baricéntrica de 2-símplices

Motivación

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La subdivisión baricéntrica es una operación sobre complejos simpliciales. En topología algebraica a veces es útil reemplazar los espacios originales por complejos simpliciales mediante triangulaciones: la sustitución permite asignar invariantes combinatorios como la característica de Euler a los espacios. Se puede preguntar si existe una forma análoga de reemplazar las funciones continuas definidas en los espacios topológicos por funciones que sean lineales en los símplices y que sean homotópicas a las aplicaciones originales (véase también aproximación simplicial). En general, tal asignación requiere un refinamiento del complejo dado, es decir, se reemplazan los símplices más grandes por una unión de símplices más pequeños. Una forma estándar de efectuar tal refinamiento es la subdivisión baricéntrica. Además, la subdivisión baricéntrica induce aplicaciones en grupos de homología y es útil para cuestiones computacionales (véase Escisión y Secuencia de Mayer-Vietoris).

Definición

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Subdivisión de complejos simpliciales

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Sea   un complejo geométrico simplicial. Se dice que un complejo   es una subdivisión de   si

  • Cada símplex de   está contenido en un símplex de  
  • Cada símplex de   es una unión finita de símplex de  

Estas condiciones implican que   y   son iguales como conjuntos y como espacios topológicos, y solo cambia su estructura simplicial.[2]

 
Subdivisión baricéntrica de un 2-símplex. Los puntos coloreados agregados a la derecha son los baricentros de los símplex de la izquierda

Subdivisión baricéntrica de un símplex

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Para un símplex   abarcado por   puntos, el baricentro se define como el punto  . Para definir la subdivisión, se considera un símplex como un complejo simplicial que contiene solo un símplex de dimensión máxima, es decir, el símplex mismo. La subdivisión baricéntrica de un símplex se puede definir inductivamente por su dimensión.

Para puntos, es decir, símplices de dimensión 0, la subdivisión baricéntrica se define como el punto mismo.

Supóngase entonces para un símplex   de dimensión   que sus   caras de dimensión   ya están divididas. Por lo tanto, existen   símplices que cubren  . La subdivisión baricéntrica se define entonces como el complejo simplicial geométrico cuyos símplices máximos de dimensión   son cada uno de ellos envolventes convexas de   para un par   tal que algún  , por lo que habrá   símplices que recubran  .

Se puede generalizar la subdivisión para complejos simpliciales cuyos símplices no están todos contenidos en un único símplex de dimensión máxima, es decir, complejos simpliciales que no corresponden geométricamente a un símplex. Esto se puede hacer realizando los pasos descritos anteriormente simultáneamente para cada símplex de dimensión máxima. La inducción se basará entonces en el  -ésimo esqueleto del complejo simplicial. El procedimiento permite efectuar la subdivisión más de una vez.[3]

Subdivisión baricéntrica de un politopo convexo

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El hexaquisoctaedro, la subdivisión baricéntrica de un cubo

La operación de subdivisión baricéntrica se puede aplicar a cualquier politopo convexo de cualquier dimensión, produciendo otro politopo convexo de la misma dimensión.[4]​ En esta versión de subdivisión baricéntrica, no es necesario que el politopo forme un complejo simplicial: puede tener caras que no sean simples. Este es el dual operation a omnitruncamiento.[5]​ Los vértices de la subdivisión baricéntrica corresponden a las caras de todas las dimensiones del politopo original. Dos vértices son adyacentes en la subdivisión baricéntrica cuando corresponden a dos caras de diferentes dimensiones con la cara de dimensiones inferiores incluida en la cara de dimensiones superiores. Las facetas de la subdivisión baricéntrica son símplices, correspondientes a las banderas del politopo original.

Por ejemplo, la subdivisión baricéntrica de un cubo, o de un octaedro, es el hexaquisoctaedro.[6]​ Los vértices de grado 6, grado 4 y grado 8 del disdiaquis dodecaedro corresponden a los vértices, aristas y facetas cuadradas del cubo, respectivamente.

Propiedades

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Sea   un símplex y defínase  . Una forma de medir la malla de un complejo geométrico simplicial es tomar el diámetro máximo de los símplices contenidos en el complejo. Sea   un símplex   dimensional que proviene del recubrimiento de   obtenido por la subdivisión baricéntrica. Entonces, se cumple la siguiente estimación:

 . Por lo tanto, aplicando la subdivisión baricéntrica con suficiente frecuencia, la arista más grande puede hacerse tan pequeño como se desee.[7]

Homología

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Para algunas declaraciones en teoría de la homología, se desea reemplazar los complejos simpliciales por una subdivisión. En el nivel de grupos de homología simpliciales, se requiere una aplicación desde el grupo de homología del complejo simplicial original hasta los grupos del complejo subdividido. De hecho, se puede demostrar que para cualquier subdivisión   de un complejo simplicial finito   existe una secuencia única de aplicaciones entre los grupos de homología  , de modo que para cada   en   las aplicaciones cumplan que   y de modo que las aplicaciones induzcan endomorfismos de complejos de cadena. Además, el mapa inducido es un isomorfismo: la subdivisión no cambia la homología del complejo.[2]

Para calcular los grupos de homología singulares de un espacio topológico  , se consideran funciones continuas   donde   denota el símplex-estándar- -dimensional. De manera análoga a la descrita para los grupos de homología simplicial, la subdivisión baricéntrica puede interpretarse como un endomorfismo de complejos de cadenas singulares. Aquí nuevamente, existe un operador de subdivisión   que envía una cadena   a una combinación lineal   donde la suma recorre todos los   símplices que aparecen en la cobertura de   por subdivisión baricéntrica, y   para todos esos  . Esta aplicación también induce un automorfismo de complejos de cadenas.[8]

Aplicaciones

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La subdivisión baricéntrica se puede aplicar a complejos simpliciales completos como en el teorema de aproximación simplicial o se puede utilizar para subdividir símplices geométricos. Por lo tanto, es crucial para declaraciones en la teoría de la homología singular (véase Escisión y Secuencia de Mayer-Vietoris).

Aproximación simplicial

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Sean  ,   complejos simpliciales abstractos anteriores a los conjuntos  ,  . Una aplicación simplicial es una función   que asigna cada símplex en   a un símplex en  . Por extensión lineal afín en los símplices,   induce una corrrespondencia entre las realizaciones geométricas de los complejos. Cada punto de un complejo geométrico se encuentra en el interior de exactamente un símplex, su soporte. Considérese ahora una aplicación continua  ". Se dice que una aplicación simplicial   es una aproximación simplicial de   si y solo si cada   está asignado por   al soporte de   en  . Si existe tal aproximación, se puede construir una homotopía   transformando   en   definiéndola en cada símplex, donde siempre existe, porque los símplices son contráctiles.

El teorema de aproximación simplicial garantiza para cada función continua   la existencia de una aproximación simplicial al menos después del refinamiento de  , por ejemplo reemplazando   por su subdivisión baricéntrica iterada.[9]​ El teorema juega un papel importante para ciertos enunciados en topología algebraica con el fin de reducir el comportamiento de aplicaciones continuas en algunas aplicaciones simpliciales, como por ejemplo en el teorema del punto fijo de Lefschetz.

Teorema del punto fijo de Lefschetz

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El número de Lefschetz es una herramienta útil para determinar si una función continua admite puntos fijos. Estos datos se calculan de la siguiente manera: supóngase que   y   son espacios topológicos que admiten triangulaciones finitas. Una aplicación continua   induce homomorfismos   entre sus grupos de homología simplicial con coeficientes en un campo  ; aplicaciones lineales entre   espacios vectoriales, por lo que se puede determinar su traza  . Su suma alterna

 

se llama número de Lefschetz de  . Si es  , este número es la característica de Euler de  . El teorema del punto fijo establece que siempre que  ,   tiene un punto fijo. En la demostración, esto se comprueba primero solo para aplicaciones simpliciales y luego se generaliza para cualquier función continua mediante el teorema de aproximación.

Ahora bien, el teorema del punto fijo de Brouwer es un caso especial de este enunciado. Sea   un endomorfismo de la bola unitaria. Para   todos sus grupos de homología   desaparecen, y   es siempre la identidad, por lo que  , y además   tiene un punto fijo.[10]

Secuencia de Mayer-Vietoris

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La secuencia de Mayer-Vietoris se utiliza a menudo para calcular grupos de homología singulares y da lugar a argumentos inductivos en topología. La declaración relacionada se puede formular de la siguiente manera:

Sea   un recubrimiento abierto del espacio topológico  .

Existe una secuencia exacta

 
 

donde se consideran grupos de homología singulares,   que son incrustaciones; y   denota la suma directa de grupos abelianos.

Para la construcción de grupos de homología singulares se consideran aplicaciones continuas definidas en el símplex estándar  . Un obstáculo en la demostración del teorema son las aplicaciones   tales que su imagen no está contenida en   ni en  . Esto se puede solucionar usando el operador de subdivisión: al considerar las imágenes de tales plicaciones como la suma de imágenes de símplices más pequeños, que se encuentran en   o  , se puede demostrar que la inclusión   induce un isomorfismo en la homología que es necesario para comparar los grupos de homología.[8]

Escisión

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La escisión se puede utilizar para determinar grupos de homología relativa. Permite en ciertos casos olvidarse de subconjuntos de espacios topológicos para sus grupos de homología, y por lo tanto, simplifica su cálculo:

Sea   un espacio topológico y   sean subconjuntos, donde   está cerrado de modo que  . Entonces la inclusión   induce un isomorfismo   para todo  

Nuevamente, en homología singular, las aplicaciones   pueden aparecer de manera que su imagen no forma parte de los subconjuntos mencionados en el teorema. De manera análoga, pueden entenderse como una suma de imágenes de símplices más pequeños, obtenidas por la subdivisión baricéntrica.[8]

Referencias

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  1. Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. CRC Press. 2004. pp. 722 de 1560. ISBN 9781420035315. Consultado el 27 de septiembre de 2023. 
  2. a b James R. Munkres, Elements of algebraic topology (en alemán), Menlo Park, Calif., p. 96, ISBN 0-201-04586-9 .
  3. James R. Munkres, Elements of algebraic topology (en alemán), Menlo Park, Calif., pp. 85 f, ISBN 0-201-04586-9 .
  4. Ewald, G.; Shephard, G. C. (1974), «Stellar subdivisions of boundary complexes of convex polytopes», Mathematische Annalen 210: 7-16, MR 350623, doi:10.1007/BF01344542 .
  5. Matteo, Nicholas ( 2015), Convex Polytopes and Tilings with Few Flag Orbits (Doctoral dissertation),  Northeastern University, ProQuest 1680014879 . See p. 22, where the omnitruncation is described as a "flag graph".
  6. Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), «Reflections on the lemniscate of Bernoulli: the forty-eight faces of a mathematical gem», Milan Journal of Mathematics 78 (2): 643-682, MR 2781856, doi:10.1007/s00032-010-0124-5 .
  7. Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, p. 120 .
  8. a b c Hatcher, 2001.
  9. Ralph Stöcker, Heiner Zieschang, Algebraische Topologie (en alemán) (2. überarbeitete edición), Stuttgart: B.G. Teubner, p. 81, ISBN 3-519-12226-X .
  10. Bredon, Glen E., Springer Verlag, ed., Topology and Geometry (en alemán), Berlin/ Heidelberg/ New York, pp. 254 f, ISBN 3-540-97926-3 .