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Tensor de campo electromagnético

(Redirigido desde «Tensor de Faraday»)

En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad, el tensor de Faraday o tensor de campo electromagnético es un tensor 2-covariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:

Componentes del tensorEditar

El cuadripotencial A lleva en sus componentes la información de los potenciales. Sus coordenadas son en un sistema coordenado Lorentz:

 

Donde   y A son el potencial eléctrico y el potencial vector magnético respectivamente.

El cuadripotencial es una 1-forma, para ponerlo en correspondencia con un objeto de rango 2 debemos hacer actuar la derivada exterior. Entonces podemos escribir la relación geométrica que relaciona el cuadripotencial con el tensor de campo electromagnético:

 

Si utilizamos un sistema coordenado de Lorentz podemos escribirlo en componentes de la siguiente forma:

 

Si recordamos cómo se relacionan los potenciales con los campos E y B, podremos encontrar las componentes del tensor campo electromagnético:

 

Por tanto, las componentes del tensor se obtendrán de la siguiente forma:

 

Igualmente:

 

Para los índices espacial-espacial, tenemos que:

 

PropiedadesEditar

  1. El tensor es antisimétrico:  
    • Demostración:  
  2. Los términos de la diagonal son nulos:  
    • Demostración:  
  3. Dado que F proviene de un potencial  , se dice que es una 2-forma exacta. Según en Lema de Poincaré toda forma exacta tiene derivada exterior nula:  
    • Esto implica que en los sistemas coordenados Lorentz se cumple:  
  4. El tensor es invariante bajo transformaciones gauge del cuadripotencial.
    • En coordenadas Lorentz, si escogemos un cuadripotencial distinto a  , de la forma  , donde   es una función arbitraria, es inmediato comprobar que:  .
    • De forma más geométrica, puesto que  , tomando un cuadripotencial  , se obtiene  , puesto que la derivada exterior cumple  .

Otras expresiones del tensorEditar

Mediante el tensor métrico   podemos subir o bajar índices. Por tanto el tensor campo electromagnético también se puede escribir mediante índices abajo (intercambiando así entre coordenadas covariantes y contravariantes):

 

Por tanto

 

Tensor dualEditar

Existe otra forma de agrupar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E/cB y B → −E/c, se obtiene el tensor dual Gμν:

 

O, bajando índices:

 

Véase tambiénEditar