Tensor de densidad de flujo de impulsión

El tensor de densidad de flujo de impulsión​ viene dado por:

Densidad de flujo hidráulico a través de una sección de un cauce

$\Pi _{ik}=p\delta _{ik}+\rho v_{i}v_{k}$

Considérese un fluido con velocidad ${\vec {v}}$: la impulsión de la unidad de volumen del fluido es igual a $\rho {\vec {v}}$, siendo $\rho$ la densidad del fluido. La tasa de variación es por tanto:

${\frac {\partial \rho {\vec {v}}}{\partial t}}$

En notación tensorial se tiene que:

${\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}=\rho {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{i}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Empleando la ecuación de continuidad: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho v_{k}}{\partial x_{k}}}$; y la ecuación de Euler: ${\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}=-v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}$

Gracias a estas dos ecuaciones, se deduce que:

${\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}=-\rho v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}-v_{i}{\frac {\partial \rho v_{k}}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \rho v_{i}v_{k}}{\partial x_{k}}}$

que a su vez puede escribirse como ${\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}=\delta _{ik}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}$.

Por lo tanto, ${\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}=-{\frac {\partial (\delta _{ik}p+\rho v_{i}v_{k})}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial \Pi _{ik}}{\partial x_{k}}}$

Para resaltar el significado del tensor $\Pi _{ik}$, se debe integrar la ecuación anterior en un volumen determinado:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \rho v_{i}dV=-\int {\frac {\partial \Pi _{ik}}{\partial x_{k}}}dV$

Según el teorema de Ostrogradsky-Gauss, se puede escribir:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \rho v_{i}dV=-\oint \Pi _{ik}dS_{k}$

En el primer miembro aparece la variación por unidad de tiempo de la i-ésima componente del impulso en el volumen considerado. Lo que significa que el segundo miembro representa la cantidad de este impulso que fluye por unidad de tiempo a través de la superficie que delimita el volumen considerado.

Al escribir $dS_{k}=n_{k}dS$, se puede decir que: $\Pi _{ik}n_{k}=pn_{i}+\rho v_{i}v_{k}$, que corresponde a la expresión vectorial $p{\vec {n}}+\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})$. Esto permite concluir que $\Pi _{ik}$ es la i-ésima componente de la cantidad de impulso que cruza por unidad de tiempo la unidad de área normal al eje $x_{k}$.

Referencias

• Datos: Q3518154