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Teorema de Niven

Proposición sobre ángulos racionales con valores trigonométricos racionales

En matemáticas, el teorema de Niven, que lleva el nombre del matemático estadounidense Ivan Morton Niven (1915-1999), establece que:

Teorema de Niven: Los únicos valores racionales de un ángulo θ en el intervalo 0° ≤ θ ≤ 90° para los que el seno de θ es también un número racional, son:[1]

En radianes, se requeriría que 0 ≤ x ≤ Π/2, que x/Π sea racional, y que sin x también sea racional. La conclusión es que los únicos valores de este tipo son sin 0 = 0, sin Π/6 = 1/2, y sin Π/2 = 1.

El teorema aparece como el Corolario 3.12 en el libro de Niven sobre números irracionales.[2]

El teorema también se extiende a las otras funciones trigonométricas.[2]​ Para valores racionales de θ, los únicos valores racionales del seno o del coseno son 0, ±1/2 y ±1; Los únicos valores racionales de la secante o cosecante son ±1 y ±2; y los únicos valores racionales de la tangente o cotangente son 0 y ±1.[3]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Schaumberger, Norman (1974). «A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities». Two-Year College Mathematics Journal 5: 73-76. JSTOR 3026991. 
  2. a b Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. The Carus Mathematical Monographs (11). Mathematical Association of America. p. 41. MR 0080123. 
  3. Una prueba para el caso del coseno aparece en el Lema 12 en Bennett, Curtis D.; Glass, A. M. W.; Székely, Gábor J. (2004). «Fermat's last theorem for rational exponents». American Mathematical Monthly 111 (4): 322-329. MR 2057186. doi:10.2307/4145241. 

Lecturas relacionadasEditar

  • Olmsted, J. M. H. (1945). «Rational values of trigonometric functions». Amer. Math. Monthly 52 (9): 507-508. JSTOR 2304540. 
  • Lehmer, Derik H. (1933). «A note on trigonometric algebraic numbers». Amer. Math. Monthly 40 (3): 165-166. JSTOR 2301023. 

Enlaces externosEditar