Teorema de Radon–Nikodym

En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada.

El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930.[1]

FormulaciónEditar

Dado un espacio medible  , una medida  -finita   y una medida con signo  -finita   absolutamente continua con respecto a  , entonces existe una función medible   sobre   que satisface:

 , para todo  .

Además, si   es otra función medible en   tal que

 , para todo  

entonces    -casi siempre.

Derivada de Radon–NikodymEditar

Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función   que satisface

 

para todo   se la llama derivada de Radon-Nykodym de   con respecto a   y suele representarse mediante  . Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.

NotasEditar

  1. Nikodym, O. (1930). «Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon». Fundamenta Mathematicae (en francés) 15: 131–179. JFM 56.0922.02. Consultado el 11 de mayo de 2009. 

ReferenciasEditar

  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.