Teorema de Routh

En geometría, el teorema de Routh[1]​ determina la relación de áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por la intersección de tres cevianas (una por cada vértice).

El teorema de Routh permite calcular el área del triángulo ΔGHI (en rojo), formado por las tres cevianas AD, BE y CF.

NomenclaturaEditar

Sea un triángulo cualquiera ΔABC (el exterior, amarillo en el gráfico), en cuyos lados AB, BC y CA se han marcado los puntos F, D y E, siendo estos tres últimos pies cualesquiera de las cevianas AD, BE y CF.

Los puntos I, G y H conforman al triángulo interior ΔIGH (color rojo el en el gráfico). Donde I, G y H son los puntos de intersección de las cevianas (AD con CF), (AD con BE) y (BE con CF).

 

Denominando a las razones de los respectivos segmentos de cada lado como r, s y t:

 
 
 

Llamando a las áreas de los triángulos ΔABC y ΔIGH respectivamente como AABC y AIGH.

Enunciado del teoremaEditar

Con la nomenclatura antes mencionada, el teorema de Routh afirma que el área del triángulo ΔIGH es:

 

El teorema de Ceva puede ser considerado como un caso especial del teorema de Routh. En el caso especial de que las tres cevianas AD, BE y CF se intersequen en un solo punto, entonces el área del triángulo ΔIGH es 0. Se puede concluir que ( r s t = 1 ), lo cual es justamente el enunciado del teorema de Ceva.

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar

Notas y referenciasEditar

  1. El nombre de este teorema es en honor al matemático inglés Edward John Routh FRS (20 de enero de 1831–7 de junio de 1907)