Teorema de Stolz-Cesàro

En matemáticas, el teorema de Stolz-Cesàro es un criterio para probar la convergencia de una sucesión. Su aplicación permite la resolución de algunos tipos de indeterminaciones. Este teorema puede ser visto en cierta forma como una generalización del promedio de Cesàro. Recibe su nombre por los matemáticos Otto Stolz y Ernesto Cesàro.

Criterio de Stolz del cociente

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Sean   y   dos sucesiones tales que:

  •  ,   es monótona decreciente y  

o bien

  •   es monótona creciente y divergente a  .
  •  

Entonces, el límite:

 

Es utilizado frecuentemente para resolver indeterminaciones del tipo  .Otra forma de enunciación es la siguiente:

Sean   y   dos sucesiones de números reales. Asumiendo que   sea positiva, estrictamente creciente y no acotada y que exista el siguiente límite:

 

Entonces podemos asegurar que el límite

 

existe y es igual a   siempre y cuando el denominador sea distinto de cero.

Criterio de Stolz de la raíz

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Sean   y   dos sucesiones tales que,

  •  
  •   es monótona creciente y divergente  
  •  

Entonces,

 

Forma general

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La forma general del teorema de Stolz–Cesàro es la siguiente:[1]​ Si   y   son dos sucesiones tales que   es monótona y no acotada, entonces:

 

Ejemplos

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Criterio del cociente

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El criterio de Stolz del cociente permite demostrar la convergencia a   de la sucesión dada por[2]

 

Para ello, se considera la sucesión del numerador,  , y la del denominador,   (es monótona creciente y divergente a  ). Por aplicación del criterio,

 

Criterio de la raíz

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Por el criterio de la raíz, se tiene el siguiente límite:[3]

 

Para demostrarlo, es suficiente considerar que la sucesión   y tener en cuenta que

 

Referencias

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  1. «L'Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem». Consultado el 18 de mayo de 2019. 
  2. Llopis, José L. «Criterio de convergencia de Stolz del cociente». Consultado el 18 de mayo de 2019. 
  3. Llopis, José L. «Criterio de convergencia de la media geométrica y de la raíz». Consultado el 18 de mayo de 2019. 

Enlaces externos

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