Teorema de Szemerédi

proposición que afirma que los subconjuntos largos y densos de los números enteros contienen progresiones aritméticas arbitrariamente grandes

En combinatoria aritmética, el teorema de Szemerédi (denominado así en referencia al matemático húngaro Endre Szemerédi) es un resultado relativo a progresiones aritméticas en subconjuntos de los números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron[1]​ que cada conjunto de enteros A con densidad natural positiva contiene k términos en progresión aritmética para cada k. Endre Szemerédi demostró la conjetura en 1975.

DeclaraciónEditar

Se dice que un subconjunto A de números naturales tiene densidad superior positiva si

 .

El teorema de Szemerédi afirma que un subconjunto de los números naturales con densidad superior positiva contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud k para todos los números enteros positivos k.

Una versión finita equivalente de uso frecuente del teorema establece que para cada número entero positivo k y número real  , existe un número entero positivo

 

tal que cada subconjunto de {1, 2, ..., N} de tamaño al menos δN contiene una progresión aritmética de longitud k.

Otra formulación usa la función rk(N), el tamaño del subconjunto más grande de {1, 2, ..., N} sin una progresión aritmética de longitud k. El teorema de Szemerédi es equivalente al límite asintótico

 .

Es decir, rk(N) crece menos que linealmente con N.

HistoriaEditar

El teorema de Van der Waerden, un precursor del teorema de Szemerédi, fue probado en 1927.

Los casos k = 1 y k = 2 del teorema de Szemerédi son triviales. El caso k= 3, conocido como teorema de Roth, fue establecido en 1953 por Klaus Roth[2]​ a través de una adaptación de método del círculo de Hardy-Littlewood. Endre Szemerédi[3]​ demostró el caso k= 4 mediante combinatoria. Usando un enfoque similar al que usó para el caso k= 3, Roth[4]​ dio una segunda prueba de este teorema en 1972.

El caso general se resolvió en 1975, también por Szemerédi,[5]​ quien desarrolló una extensión ingeniosa y complicada de su anterior argumento combinatorio para k= 4 (llamado "una obra maestra del razonamiento combinatorio" por Erdős[6]​). Ahora se conocen varias otras demostraciones, siendo las más importantes las de Hillel Furstenberg[7][8]​ en 1977, usando teoría ergódica, y las de William Timothy Gowers[9]​ en 2001, usando tanto análisis de Fourier como combinatoria. Terence Tao ha llamado a las diversas demostraciones del teorema de Szemerédi la piedra de Rosetta necesaria para conectar campos dispares de las matemáticas.[10]

Límites cuantitativosEditar

Es un problema abierto el determinar la tasa de crecimiento exacta de rk(N). Los límites generales más conocidos son

 

donde  . El límite inferior se debe a que O'Bryant[11]​ se basó en el trabajo de Behrend,[12]Rankin,[13]​ y Elkin.[14][15]​ El límite superior se debe a Gowers.[9]

Para k pequeño, existen límites más estrechos que en el caso general. Cuando k= 3, Bourgain,[16][17]​ Heath-Brown,[18]​ Szemerédi,[19]​ y Sanders[20]​ proporcionaron límites superiores cada vez más pequeños. Los mejores límites actuales son

 

debido a O'Bryant[11]​ y Bloom[21]​ respectivamente.

Para k= 4, Green y Tao[22][23]​ demostraron que

 

para algún c > 0.

Extensiones y generalizacionesEditar

Hillel Furstenberg y Yitzhak Katznelson demostraron por primera vez una generalización multidimensional del teorema de Szemerédi utilizando la teoría ergódica.[24]William Timothy Gowers,[25]​ Vojtěch Rödl y Jozef Skokan[26][27]​ con Brendan Nagle, Rödl y Mathias Schacht,[28]​ y Terence Tao[29]​ proporcionaron pruebas combinatorias.

Alexander Leibman y Vitaly Bergelson[30]​ generalizaron Szemerédi a progresiones polinómicas: si   es un conjunto con densidad superior positiva y   son polinomios de valores enteros tales que  , entonces hay infinitos   tales que   para todos los  . El resultado de Leibman y Bergelson también es válido en un entorno multidimensional.

La versión finita del teorema de Szemerédi se puede generalizar a grupos aditivos finitos que incluyen espacios vectoriales sobre cuerpos finitos.[31]​ El análogo de campo finito se puede usar como modelo para comprender el teorema en los números naturales.[32]​ El problema de obtener cotas en el caso k=3 del teorema de Szemerédi en el espacio vectorial   se conoce como problema conjunto tapa.

El teorema de Green-Tao afirma que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. No está implícito en el teorema de Szemerédi porque los números primos tienen densidad 0 en los números naturales. Como parte de su prueba, Ben Green y Tao introdujeron un teorema de Szemerédi "relativo" que se aplica a subconjuntos de números enteros (incluso aquellos con densidad 0) que satisfacen ciertas condiciones de pseudoaleatoriedad. Desde entonces, David Conlon, Jacob Fox y Yufei Zhao han dado un teorema de Szemerédi relativo más general.[33][34]

La conjetura sobre progresiones aritméticas de Erdős implicaría tanto el teorema de Szemerédi como el teorema de Green-Tao.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

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  2. Roth, Klaus Friedrich (1953). «On certain sets of integers». London Mathematical Society 28 (1): 104-109. MR 0051853. Zbl 0050.04002. doi:10.1112/jlms/s1-28.1.104. 
  3. Szemerédi, Endre (1969). «On sets of integers containing no four elements in arithmetic progression». Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae 20 (1–2): 89-104. MR 0245555. Zbl 0175.04301. doi:10.1007/BF01894569. 
  4. Roth, Klaus Friedrich (1972). «Irregularities of sequences relative to arithmetic progressions, IV». Periodica Math. Hungar. 2 (1–4): 301-326. MR 0369311. S2CID 126176571. doi:10.1007/BF02018670. 
  5. Szemerédi, Endre (1975). «On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression». Acta Arithmetica 27: 199-245. MR 0369312. Zbl 0303.10056. doi:10.4064/aa-27-1-199-245. 
  6. Erdős, Paul (2013). «Some of My Favorite Problems and Results». En Graham, Ronald L.; Nešetřil, Jaroslav; Butler, Steve, eds. The Mathematics of Paul Erdős I (Second edición). New York: Springer. pp. 51-70. ISBN 978-1-4614-7257-5. MR 1425174. doi:10.1007/978-1-4614-7258-2_3. 
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BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar