Teorema de convolución

En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto (o producto Hadamard) de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean y dos funciones cuya convolución se expresa con . (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Entonces

donde · indica producto punto a punto. También puede afirmarse que:

Aplicando la transformada inversa de Fourier , podemos escribir:

DemostraciónEditar

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de   que son inconvenientes aquí. Sean  

Sean   la transformada de Fourier de   y   la transformada de Fourier de  :

 
 .

Sea   la convolución de   y  

 

Nótese que

 

Del teorema de Fubini tenemos que  , así que su transformada de Fourier está definida. Sea   la transformada de Fourier de  :

 

Obsérvese que   y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:

 

Sustituyendo  ; tenemos  , y por lo tanto:

 
 
 

Estas dos integrales son las definiciones de   y  , así que:

 

Que es lo que queríamos demostrar.