Coeficiente binomial gaussiano

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En matemáticas, los coeficientes binomiales gaussianos (también llamados coeficientes gaussianos, polinomios gaussianos, o coeficientes q-binomiales) son q-análogos de los coeficientes binomiales. El coeficiente gaussiano binomial, escrito como

ó ,

es un polinomio en q con coeficientes enteros, cuyos valores cuando q es tomada como una potencia prima cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo finito con q elementos.

Definiciones

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Los coeficientes binomiales gaussianos se define como:[1]

 

donde m y r son enteros no negativos. Si r > m, se evalúa a 0. Para r = 0, el valor es 1 puesto que el numerador y el denominador son productos vacíos.

Aunque la fórmula en principio parecer ser una función racional, en realidad es un polinomio, puesto que la división es exacta en Z[q]

Todos los factores en el numerador y el denominador son divisibles por 1 − q, y el cocientes es el q-número:

 

Dividiendo estos factores da la fórmula equivalente

 

En términos del q factorial  , la fórmula puede ser expresada como

 

Sustituyendo q = 1 en   se obtiene el coeficiente binomial ordinario  .

El coeficiente binomial gaussiano tiene valores finitos como  :

 

Ejemplos

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Propiedades

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Reflexión

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Como ocurre en el coeficientes binomiales ordinarios, los coeficientes binomiales gaussianos tienen simetría central, i.e., son invariantes bajo la reflexión  :

 

en particular,

 
 

Límite cuando q = 1

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La evaluación de un coeficiente binomial gaussiano cuando q = 1 es

 

i.e. la suma de los coeficientes da el corresponiente valor binomial.

Análogos de la identidad de Pascal

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Los análogos de la identidad de Pascal para los coeficientes binomiales gaussianos son:[1]

 

y

 

Cuando  , these ambos dan la identidad binomial usual. Se puede ver que cuando  , ambas ecuaciones continúan siendo válidas.

El primer análogo de Pascal permite el cálculo recursivo de los coeficientes binomiales gaussianos (con respecto a m ) usando los valores iniciales

 

y también muestra que los coeficientes binomiales de Gauss son de hecho polinomios (en q).

El segundo análogo de Pascal se sigue del primero usando la sustitución   y de la invarianza de los coeficientes binomiales gaussianos bajo la reflexión  .

Demostraciones de los análagos

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Ambos análogos pueden probarse observando primero que a partir de la definición de  , se tiene que:

 
 
 

como

 

[1] se convierte en:

 

y sustituyendo en [3] se obtiene el primer análogo.

En un proceso similar, usando

 

en vez del anterior, se obtiene el segundo análogo.

Teorema q-binomial

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Hay una análogo del teorema binomial para coeficientes q-binomiales:

 

Al igual que el teorema del binomio habitual, esta fórmula tiene numerosas generalizaciones y extensiones; una de ellas, correspondiente al teorema binomial generalizado de Newton para potencias negativas, es

 

En el límite  , estas fórmulas dan

 

y

 .

Tomando   se obtienen las funciones generadoras para distintas partes y cualquier parte respectivamente.

Identidad q-binomial central

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Con los coeficientes binomiales ordinarios, se tiene que:

 

Con los coeficientes q-binomiales, el análogo es:

 

Referencias

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  1. a b Mukhin, Eugene, chapter 3

Bibliografía

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Enlaces externos

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