Transformada de Gelfand

La transformada de Gelfand, llamada así en honor del matemático Israel Gelfand, es una aplicación sobre un álgebra de Banach conmutativo y unitario que da lugar a funciones continuas sobre el espectro del álgebra. Esta función es importante en análisis harmónico abstracto y la base de la Teoría de Gelfand.

Espectro de un álgebra de Banach

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Dado un álgebra de Banach conmutativo y unitario  , llamamos funcional multiplicativo en   a todo homomorfismo no nulo de   a  . Al conjunto de todos los funcionales multiplicativos en   se le denomina espectro de   ( ).

Definición

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Para cada  , definimos la función   dada por  . Esta función es siempre en continua, ya que la topología en   es la topología de la convergencia puntual en  .

A la aplicación   que lleva   a   se le denomina transformada de Gelfand en  .

Propiedades

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  1. La transformada de Gelfand es un homomorfismo y   es la función constantemente   (donde   es el elemento unitario del álgebra).
  2. Un elemento del álgebra es invertible si y solo si su imagen a través de la transformada de Gelfand es una función que nunca se anula.
  3. El rango de   coincide con el espectro de  . .

Referencias

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Folland, Gerald B. (1995). «Banach Algebras and Spectral Theory». A Course in Abstract Harmonic Analysis (en inglés). CRC Press. pp. 5-7.