Transporte paralelo

En matemáticas, un transporte paralelo en una variedad M con conexión especificada es un modo de transportar[nota 1]​ vectores sobre curvas diferenciables de manera que permanezcan "paralelos" respecto a la conexión dada.

Campos paralelos sobre curvas diferenciablesEditar

Un campo vectorial   sobre una curva diferenciable   se llama paralelo si

 

para cualquier t. La interpretación de la fórmula anterior es que derivar covariantemente el campo   respecto al vector tangente   a la curva  , como el ángulo entre dos vectores es uno de los aspectos que podría variar, en variedades de Riemann donde se puede definir la noción de ángulo la ecuación anterior, implica que el ángulo se mantiene constante y, por tanto, que el vector   es transportado paralelamente ya que su inclinación respecto a la curva no varía.

Transporte paraleloEditar

Sean M una variedad diferenciable con conexión   y   una curva suave. Sean   y  . Entonces existe un único campo vectorial paralelo ω a lo largo de   tal que  .   se llama transporte paralelo de   a lo largo de  .

GeodésicasEditar

Las geodésicas en variedades (seudo-)Riemannianas se definen de la siguiente manera. Sea M una variedad diferenciable con conexión  . Una curva diferenciable   es una geodésica si   (como campo vectorial a lo largo de  ) es paralelo a lo largo de sí misma. En otras palabras, si

 

Campos vectoriales paralelos y geodésicosEditar

Un campo vectorial   sobre M se denomina paralelo si

 

y geodésico si

 .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Se trata de buscar una aplicación T sobr el espacio tangente en dos puntos diferentes, para cada vector v del espacio tangente en el primer punto se obtiene un vector en el segundo espacio w, ese segundo vector se llama vector transportado T(v) con w = T(v).