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Contraejemplo

Dada la ecuación diferencial $x'=e^{t}{\sqrt {x}}$ queremos comprobar si cumple las hipótesis del Teorema de Picard-Lindelöf. Dado $(t_{0},x_{0})\in \mathbb {R} \times [0,+\infty )$

Definimos $C_{a,b}$ como el ejemplo anterior, y veamos si se cumple la condición de Lipschitz:

• Si $x_{0}>0$, entonces, en $C_{a,b}$: podemos elegir $b>0$ tal que $x_{0}-b>0$. Como en $[x_{0}-b,x_{0}+b]$ la función ${\sqrt {x}}$ es $C^{1}$, de manera análoga al ejemplo anterior existe una constante $L_{x_{0}}$ tal que $e^{t_{0}+a}|{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}|\leq L_{x_{0}}|x-y|$, $\forall x,y\in [x_{0}-b,x_{0}+b]$ por lo que hay existencia y unicidad de solución local.

• Sin embargo, en $x_{0}=0$ cualquier entorno de dicho punto contendrá el 0, donde ${\sqrt {x}}$ no es Lipschitz. Por lo tanto, no se puede garantizar unicidad local. De hecho, dos soluciones del PVI con condición inicial $x(t_{0})=0$ son $x(t)=0\ \forall t$ y $x(t)={\frac {(e^{t}-1)^{2}}{4}}$

Bibliografía

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• E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, pp. 454–457. Digitized version en línea via http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (In that article Lindelöf discusses a generalization of an earlier approach by Picard.)
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (en inglés). Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. 

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. M.L.Krasnov, A.I.Kiseliov, G.I.Makárenko. Editorial URSS. ISBN 5-354-01099-3
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• G.F. Simmons. Differential Equations with applications and historical notes. McGraw-Hill, 1993.
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