Usuario:Cristina madrigal/Taller

Deducción matemática de las leyes de Kepler a partir de las leyes de Newton

La demostración de la primera y segunda ley de Kepler se basa en las leyes de Newton y la ley de gravitación universal. Primero, tendrá lugar la demostración de la segunda ley de Kepler y, a continuación, la de la primera.

Demostración de la segunda ley de Kepler

Enunciado matemático El área barrida entre 2 cuerpos es proporcional a la diferencia de tiempos.

En primer lugar, se fija un sistema de referencia de coordenadas polares:

$x(t)=r(t)\cdot (cos(\theta (t)),sen(\theta (t)))$,

${\overrightarrow {u_{r}}}=(cos(\theta (t)),sen(\theta (t)))$,

${\overrightarrow {u_{\theta }}}=(-sen(\theta (t)),cos(\theta (t)))$,

donde ${\overrightarrow {u_{r}}}$ y ${\overrightarrow {u_{\theta }}}$ son vectores unitarios en las direcciones radial y circunferencial, respectivamente, y $\theta (t)$ es el ángulo que forma el vector $r(t)$ con el eje polar (eje de referencia desde el que se mide el ángulo polar).

${\overrightarrow {u_{r}}}$ y ${\overrightarrow {u_{\theta }}}$ satisfacen las siguientes propiedades:

${d{\overrightarrow {u_{r}}} \over d\theta }={\overrightarrow {u_{\theta }}}$; ${d{\overrightarrow {u_{r}}} \over dt}={\overrightarrow {u_{r}'}}={\overrightarrow {u_{\theta }}}\cdot \theta '$; $\quad {\overrightarrow {u_{r}}}\bot {\overrightarrow {u_{\theta }}}$.

El vector fuerza se descompone en: ${\overrightarrow {F}}=F_{r}{\overrightarrow {u_{r}}}+F_{\theta }{\overrightarrow {u_{\theta }}}$. Además, como ${\overrightarrow {F}}$ es una fuerza central, (poner).

Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Newton,

$F_{r}{\overrightarrow {u_{r}}}={\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {x}}''(t)$. (poner 1)

La velocidad del planeta es la derivada de la posición:

$x'(t)=r'(t){\overrightarrow {u_{r}}}+r(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}$, (poner 2)

y su aceleración es la derivada de la velocidad:

$x''(t)=r''(t){\overrightarrow {u_{r}}}+r'(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}+r'(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}+r(t)\theta ''(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}-r(t)\theta '(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{r}}}=(r''(t)-r(t)(\theta '(t))^{2}){\overrightarrow {u_{r}}}+(2r'(t)\theta '(t)+r(t)\theta ''(t)){\overrightarrow {u_{\theta }}}$. (poner 3)

Usando (1) y (3):

${\begin{cases}F_{r}=[r''(t)-r(t)(\theta '(t))^{2}]m\\0=2r'(t)\theta '(t)+r(t)\theta ''(t)\end{cases}}$ (poner 4 y 5)

Multiplicando por $r$ a ambos lados de (5):

$0=2r(t)r'(t)\theta '(t)+r^{2}(t)\theta ''(t)=(r^{2}(t))'\theta '(t)+r^{2}(t)\theta ''(t)=(r^{2}(t)\theta '(t))'$.

Así que $r^{2}(t)\theta '(t)=c$ (constante). (poner 6)

Por otra parte, sea $A_{\theta _{1},\theta _{2}}$ el área del sector barrido entre los ángulos $\theta _{1}$ y $\theta _{2}$:

(poner integral). (DIBUJO)

Tomando $\theta _{1}=0$ por simplicidad y denotando $A_{\theta _{1},\theta _{2}}=A$. Por el teorema fundamental del cálculo, ${dA \over d\theta }={r^{2}(\theta ) \over 2}$. Como $\theta$ es función de $t$, por (6):

$A'(t)={dA(t) \over d\theta }\theta '(t)={r^{2}(\theta (t)) \over 2}\theta '(t)=c$ (constante).

Por lo tanto, $A(t)=ct+k$, para alguna constante $k$.

Como $A(0)=0$, se obtiene: $A(t)=ct$.

Aplicando esto a dos intervalos de tiempo de igual longitud, $[t_{1},t_{2}]$ y $[t_{3},t_{4}]$:

$A(t_{2}-t_{1})=(t_{2}-t_{1})c=(t_{4}-t_{3})c=A(t_{4}-t_{3})$. ■

Demostración de la primera ley de Kepler

Enunciado matemático Los cuerpos celestes se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas..

Aplicando la segunda ley de Newton y la ley de gravitación universal:

$x''(t)=-(G{M \over r^{2}(t)}){\overrightarrow {u_{r}}}$. (poner 7)

Imponiendo que $F_{r}$ cumpla la ley universal de gravitación:

$F_{r}={-{GmM \over r^{2}(t)}}$. (poner 8)

Igualando (4) y (8):

$-{GM \over r^{2}(t)}=r''(t)-r(t)(\theta '(t))^{2}$ . (poner 9)

Despejando de la ecuación (6) se obtiene: $\theta '(t)={c \over r^{2}(t)}$, para c constante. (poner 10)

Se puede reescribir esta ecuación, usando (10) como:

$-{GM \over r^{2}(t)}=r''(t)-{c^{2} \over r^{3}(t)}$. (poner 11)

Haciendo el cambio $z(t)={1 \over r(t)}$ y derivando dos veces, obtenemos lo siguiente:

$r'(t)=-{1 \over z^{2}(t)}z'(t)=-{1 \over z^{2}(t)}{dz(t) \over d\theta (t)}\theta '(t)=-c{dz(t) \over d\theta (t)}$;

$r''(t)=-c{d \over dt}{\biggl (}{dz(t) \over d\theta (t)}{\Biggr )}=-c{d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}\theta '(t)$.

Usando (10):

$r''(t)=-c^{2}z^{2}(t){d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}$.

Sustituyendo $r''(t)$ en el lado derecho de (11):

$r''(t)-{c^{2} \over r^{3}(t)}=-c^{2}z^{2}(t){d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}-{c^{2} \over r^{3}(t)}=-c^{2}z^{2}(t){d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}-c^{2}z^{2}(t)$,

y en el lado izquierdo aplicando de nuevo el cambio $z(t)={1 \over r(t)}$:

$-{GM \over r^{2}(t)}=-Gmz^{2}(t)$.

De esta forma, la ecuación (9) se puede escribir como:

$z(t)+{d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}={GM \over c^{2}}$.

Esta ecuación diferencial tiene como únicas soluciones:

$z(\theta )=Acos(\theta -\alpha )+{GM \over c^{2}}$, donde $A$ y $\alpha$ son constantes.

Eligiendo el eje polar de manera que $\alpha =0$:

$r(\theta )={1 \over Acos\theta +{GM \over c^{2}}}={{c^{2} \over GM} \over Bcos\theta +1}$, donde $B={Ac^{2} \over GM}$.

Haciendo los cambios $e=B$ y $p={1 \over A}$, se obtiene la ecuación de una cónica con foco en el origen:

$r(\theta )={ep \over ecos\theta +1}$, donde $e$ es la excentricidad y $p$ es la distancia del foco a la directriz.

Según el valor de $e$, esta cónica puede ser una elipse, una hipérbola o una parábola.

En este caso , si la trayectoria de los cuerpos celestes está acotada, el único caso posible es que sea una elipse, $0<e<1$. ■