Usuario:MRS~eswiki/continuidad
En matemáticas, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida de un solo pedazo, en el sentido de que se puede dibujarla sin levantar el lápiz, como en figura siguiente:
![función continua](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Funci%C3%B3n_continua_simple.png)
El intervalo J = [-5; 4] (cifras azules) es el codominio de f, el conjunto de los valores tomados por y = f(x). Se escribe f(I) = J.
De una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto a si y sólo si el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es f(a):
![función discontinua](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2f/Funci%C3%B3n_discontinua_simple.png)
La función dibujada a la derecha está definida sobre [-6 ; 6], continua sobre [-6 , 1[ ∪ ]1 ; 6], es decir que no es continua en x = 1, porque f(1) = 4 mientras que el límite a la izquierda de 1 es 3, o sea, al pasar de 1- a 1, la función ejecuta un salto:
Una función, f es continua sobre un intervalo I, si y sólo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:
La función anterior es continua tanto en [-6 ; 1 [ como en ] 1 ; 6].
Las funciones polinomiales, las racionales, trigonométricas son continuas en sus respectivos dominios de definición.
![función inversa](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Funci%C3%B3n_inversa.png)
Resulta sorprendente, pues que cuando se habla de función discontinua, siempre se piense en la función inversa:
cuya curva es una hipérbola, compuesta por dos pedazos (para x < 0 y para x > 0 ).
Esta función no está definida en 0 y, por tanto, su dominio de definición es: ]- ∞,0[ ∪ ]0,+ ∞[, y en cada intervalo, ]-∞,0[ ó ]0,+∞[, es continua.
Por consiguiente la función inversa es continua.
Lo mismo sucede con las otras funciones racionales:
los puntos de aparente discontinuidad corresponden a valores de la variable que no pertenecen al dominio de definición de la función.
![parte entera](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/Parte_entera.png)
La función discontinua la más sencilla es la parte entera, E, que se define de la siguiente forma:
- E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas (ver figura).
Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos ]n; n+1[ donde es constante.
Existen funciones que no son continuas en ningún punto: La más conocida es la función característica de , es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.
Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y = 0 , y una infinidad (menor) de puntos en la recta y = 1.
![continuidad en R](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Continuidad_en_R.png)
La definición exacta de la continuidad hace intervenir la topología de , más concretamente los intervalos abiertos:
Si f(a)= b, la continuidad en a se expresa así:
- limx→a f(x) = b, parafraseando, cuando x se aproxima a a, f(x) se aproxima a b.
Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J centrado en b (en rojo en la figura), existe un intervalo abierto I centrado en a (en azul) tal que f(I) c J.
Si f ejecuta un salto (en el punto (c,d) de la figura) el teorema cae en falta: En efecto si se toma un intervalo J centrado en d (en amarillo) con un radio inferior al salto de f, todo intervalo I (en verde) alrededor de c, no importa cuan pequeño es, tiene una imagen que sale de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.
Autor: M.Romero Schmidtke