Usuario:MRS~eswiki/integral y función primitiva
Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).
F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F' = f.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.
Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:
Aquí están las principales primitivas:
Función F: primitiva de f | función f: derivada de F |
---|---|
, para todo n ≠ 1 | |
, para todo n ≠ 1 | |
, a > 0 y a ≠ 1 | |
Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x).
Como no se conoce primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k.
Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.
Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:
Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el aréa entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Primitiva.png)
Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Integral_alterna.png)
La relación de Chasles:
cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos (con a < b < c )como analíticos, tiene como consecuencia:
La segunda fórmula se interpreta fácilmente: el área entre las rectas x = a y .. x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas.
La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace.
Otras propiedades
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/Integral_de_funci%C3%B3n_impar.png)
Las primitivas de una función impar es siempre par.
En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y despues de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e6/Integral_de_funci%C3%B3n_par.png)
La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0.
En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:
Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.
La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica
Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidiad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).
En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ee/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dica_area_constante.png)
Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f.
Entonces tenemos la relación:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/23/Integral_de_la_rec%C3%ADproca.png)
El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos).
Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetría axial al rededor de la diagonal y = x.
El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.
Autor: M.Romero Schmidkte ✉