Ecuación en Diferencias Finitas es una página que estoy creando.
ecuación en diferencias finitas de orden k es de la forma
y
n
+
k
+
a
k
−
1
y
n
+
k
−
1
+
.
.
.
+
a
1
y
n
+
1
+
a
0
y
n
=
f
(
n
)
{\displaystyle y_{n+k}+a_{k-1}y_{n+k-1}+...+a_{1}y_{n+1}+a_{0}y_{n}=f(n)}
n
∈
N
,
n
≥
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\ n\geq 0}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
término independiente . Si el término independiente es cero,
f
(
n
)
=
0
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle f(n)=0,\forall n\in \mathbb {N} }
homogénea . En caso contrario, se dice que es completa o no homogénea .
Una solución de la ecuación es una sucesión
{
x
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
Polinomio característico
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El polinomio característico de una EDF de orden k es el polinomio
p
(
r
)
=
∑
i
=
0
k
a
i
r
i
{\displaystyle p(r)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}r^{i}}
Este polinomio nos permite conocer las soluciones de la EDF.
Soluciones de una EDF de primer orden homogénea
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Una ecuación en diferencias finitas de primer orden y homogénea es de la forma
y
n
+
1
+
a
0
y
n
=
0
,
n
≥
0
{\displaystyle y_{n+1}+a_{0}y_{n}=0,\ n\geq 0}
La siguiente sucesión es una solución de la EDFH de primer orden:
x
n
=
k
a
0
n
(
−
1
)
n
,
n
∈
N
{\displaystyle x_{n}=ka_{0}^{n}(-1)^{n},\ n\in \mathbb {N} }
siendo
k
{\displaystyle k}
Demostración
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Sustituimos la solución en la EDF:
y
n
+
1
+
a
0
y
n
=
k
(
−
1
)
n
+
1
a
0
n
+
1
+
a
0
k
(
−
1
)
n
a
0
n
=
{\displaystyle y_{n+1}+a_{0}y_{n}=k(-1)^{n+1}a_{0}^{n+1}+a_{0}k(-1)^{n}a_{0}^{n}=}
=
k
(
(
−
1
)
n
+
1
a
0
n
+
1
+
(
−
1
)
n
a
0
n
+
1
)
=
{\displaystyle =k((-1)^{n+1}a_{0}^{n+1}+(-1)^{n}a_{0}^{n+1})=}
=
k
a
0
n
+
1
(
−
1
)
n
(
−
1
+
1
)
=
0
{\displaystyle =ka_{0}^{n+1}(-1)^{n}(-1+1)=0}
Soluciones de una EDF de segundo orden homogénea
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Una ecuación en diferencias finitas de segundo orden y homogénea es de la forma
y
n
+
2
+
a
1
y
n
+
1
+
a
o
y
n
=
0
,
n
≥
0
{\displaystyle y_{n+2}+a_{1}y_{n+1}+a_{o}y_{n}=0,\ n\geq 0}
Su polinomio característico es
p
(
r
)
=
r
2
+
a
1
r
+
a
0
{\displaystyle p(r)=r^{2}+a_{1}r+a_{0}}
El tipo de soluciones de la EDF depende del tipo de soluciones del polinomio característico:
Dos raíces reales distintas
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Si el polinomio característico
p
(
r
)
{\displaystyle p(r)}
r
1
{\displaystyle r_{1}}
r
2
{\displaystyle r_{2}}
x
n
=
k
1
r
1
n
,
n
∈
N
{\displaystyle x_{n}=k_{1}r_{1}^{n},\ n\in \mathbb {N} }
y la sucesión
y
n
=
k
2
r
2
n
,
n
∈
N
{\displaystyle y_{n}=k_{2}r_{2}^{n},\ n\in \mathbb {N} }
son soluciones de la EDF homogénea de segundo orden
∀
k
1
,
k
2
{\displaystyle \forall k_{1},k_{2}}
Como consecuencia, la sucesión suma
z
n
=
x
n
+
y
n
,
n
∈
N
{\displaystyle z_{n}=x_{n}+y_{n},\ n\in \mathbb {N} }
también es una solución de la EDF. Es la solución general .
Una raíz real de multiplicidad doble
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Si el polinomio característico de la EDF,
p
(
r
)
{\displaystyle p(r)}
r
1
{\displaystyle r_{1}}
x
n
=
k
1
r
1
n
,
n
∈
N
{\displaystyle x_{n}=k_{1}r_{1}^{n},\ n\in \mathbb {N} }
y la sucesión
y
n
=
k
2
n
r
1
n
,
n
∈
N
{\displaystyle y_{n}=k_{2}nr_{1}^{n},\ n\in \mathbb {N} }
son soluciones de la EDF
∀
k
1
,
k
2
{\displaystyle \forall k_{1},k_{2}}
z
n
=
k
1
r
1
n
+
k
2
n
r
1
n
,
n
∈
N
{\displaystyle z_{n}=k_{1}r_{1}^{n}+k_{2}nr_{1}^{n},\ n\in \mathbb {N} }
también es solución. Esta última es la solución general de la EDF.
Dos raíces complejas
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Si el polinomio característico de la EDF,
p
(
r
)
{\displaystyle p(r)}
r
1
,
r
2
=
r
1
¯
∈
C
{\displaystyle r_{1},r_{2}={\overline {r_{1}}}\in \mathbb {C} }
x
n
=
k
1
r
n
c
o
s
(
n
θ
)
+
k
2
r
n
s
i
n
(
n
θ
)
,
n
∈
N
{\displaystyle x_{n}=k_{1}r^{n}cos(n\theta )+k_{2}r^{n}sin(n\theta ),\ n\in \mathbb {N} }
donde
r
=
|
r
1
|
,
θ
=
a
r
g
(
r
1
)
{\displaystyle r=|r_{1}|,\ \theta =arg(r_{1})}
∀
k
1
,
k
2
{\displaystyle \forall k_{1},k_{2}}
Soluciones de una EDF no homogénea
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Si el término independiente de la EDF es distinto de cero, es decir,
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
{
x
n
h
}
n
∈
N
{\displaystyle \{x_{n}^{h}\}_{n\in \mathbb {N} }}
{
x
n
p
}
n
∈
N
{\displaystyle \{x_{n}^{p}\}_{n\in \mathbb {N} }}
x
n
=
x
n
h
+
x
n
p
,
n
∈
N
{\displaystyle x_{n}=x_{n}^{h}+x_{n}^{p},\ n\in \mathbb {N} }
es una solución de la EDF no homogénea.
La solución general de la EDF no homogénea es
z
n
=
k
1
x
n
h
+
k
2
x
n
p
,
n
∈
N
,
∀
k
1
,
k
2
{\displaystyle z_{n}=k_{1}x_{n}^{h}+k_{2}x_{n}^{p},\ n\in \mathbb {N} ,\ \forall k_{1},k_{2}}
Soluciones particulares de EDF no homogéneas
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Lista de soluciones particulares,
x
n
p
{\displaystyle x_{n}^{p}}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
f
(
n
)
=
a
n
{\displaystyle f(n)=a^{n}}
a
{\displaystyle a}
x
n
p
=
k
a
n
{\displaystyle x_{n}^{p}=ka^{n}}
k
{\displaystyle k}
f
(
n
)
=
n
r
a
n
{\displaystyle f(n)=n^{r}a^{n}}
a
{\displaystyle a}
r
{\displaystyle r}
x
n
p
=
p
r
(
n
)
a
n
{\displaystyle x_{n}^{p}=p_{r}(n)a^{n}}
p
r
(
n
)
{\displaystyle p_{r}(n)}
r
{\displaystyle r}
f
(
n
)
=
(
c
o
s
(
n
θ
)
,
s
i
n
(
n
θ
)
{\displaystyle f(n)=(cos(n\theta ),sin(n\theta )}
x
n
p
=
k
1
c
o
s
(
n
θ
)
+
k
2
s
i
n
(
n
θ
)
{\displaystyle x_{n}^{p}=k_{1}cos(n\theta )+k_{2}sin(n\theta )}
f
(
n
)
=
(
a
n
c
o
s
(
n
θ
)
,
a
n
s
i
n
(
n
θ
)
{\displaystyle f(n)=(a^{n}cos(n\theta ),a^{n}sin(n\theta )}
x
n
p
=
a
n
k
1
c
o
s
(
n
θ
)
+
a
n
k
2
s
i
n
(
n
θ
)
{\displaystyle x_{n}^{p}=a^{n}k_{1}cos(n\theta )+a^{n}k_{2}sin(n\theta )}
f
(
n
)
=
(
a
n
n
r
c
o
s
(
n
θ
)
,
a
n
n
r
s
i
n
(
n
θ
)
{\displaystyle f(n)=(a^{n}n^{r}cos(n\theta ),a^{n}n^{r}sin(n\theta )}
x
n
p
=
a
n
p
r
(
n
)
k
1
c
o
s
(
n
θ
)
+
a
n
p
r
(
n
)
k
2
s
i
n
(
n
θ
)
{\displaystyle x_{n}^{p}=a^{n}p_{r}(n)k_{1}cos(n\theta )+a^{n}p_{r}(n)k_{2}sin(n\theta )}
Enlaces externos
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[[Categoría:Ecuaciones en diferencias finitas]]
[[Categoría:Cálculo numérico]]
