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Didáctica de la matemática

La didáctica de la matemática o educación matemática es una disciplina científica cuyo objeto de estudio es la relación entre los saberes, la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos propios de la matemática.

Si partimos de una concepción de la didáctica de la matemática como ciencia autónoma, debemos remontarnos a sus orígenes: Francia, con la denominada "escuela francesa de la didáctica de la matemática" del IREM, propulsada en los años '702​, cuyos pioneros son: Guy Brousseau, Gérard Vergnaud e Yves Chevallard, entre otros.

En la concepción matemática o fundamental, la didáctica se presenta como "una ciencia que se interesa por la producción y comunicación de los conocimientos, en los que esta producción y esta comunicación tienen de específicos de los mismos" (Brousseau G.; 1989).

Principios del proceso de aprendizaje de las matemáticas en el alumno Según José Antonio Fernández Bravo, son cuatro los pilares sobre los que se construye el proceso de aprendizaje de las matemáticas en el alumno:

Emoción: Se refiere al querer hacer. La primera fase para resolver un problema es querer resolverlo. Creatividad: Hay que generar ideas. Hay que admitir todas las ideas por absurdas que parezcan, pero siempre con filtros guiados por el profesor, para hacerle consciente de sus errores. Para lo cual se requiere partir del nivel de comprensión (ideas y vocabulario) del alumnado. Razonamiento: Es intrínseco a la persona, y se ha de desarrollar más el proceso de aprendizaje. Cálculo: Es la parte cualitativa del proceso, el resultado final. Según Brousseau (1986) "El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por las respuestas nuevas que son las pruebas del aprendizaje ..." .

Para Chevallard (1980) el objetivo real de la didáctica radica en la construcción de una teoría de los procesos que nos brinde un dominio práctico sobre los fenómenos de la clase (Chevallard, 1980; p. 152). En este sentido, Broitman (2010) sostiene que para que la actividad matemática promueva la adquisición de conocimientos por parte de los estudiantes, los educadores deben generar un trabajo de aula que promueva un clima favorable para la producción y el intercambio en torno a esa actividad.

Es por ello que la persona que enseña debe preocuparse por dominar su materia y escuchar al niño. El docente debería también, comprender el contexto de los estudiantes para que sea más relevante el aprendizaje al estar relacionado a su vida cotidiana. La Intervención docente debe estar dirigida a proponer situaciones que involucren un desafío para los alumnos, a trabajar en consecuencias con diferentes estrategias y respuestas, con las dificultades y errores.

Otro factor a tener en cuenta en el proceso de aprendizaje de la matemática es el movimiento, pues es su manera natural de comunicarse y de hacerse entender.​

La didáctica de la matemática como disciplina científica:

Dentro de la comunidad de investigadores que, desde diversas disciplinas, se interesan por los problemas relacionados con la educación matemática, se ha ido destacando en los últimos años, principalmente en Francia, un grupo -donde sobresalen los nombres de Brousseau, Chevallard, Vergnaud- que se esfuerza en realizar una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos de investigación específicos en didáctica de la matemática. En junio de 1993 se celebró en París un coloquio titulado “Veinte años de Didáctica de las Matemáticas en Francia: homenaje a Guy Brousseau y Gérard Vergnaud”. 1973 constituye un hito en esta comunidad de investigadores, aunque también podría tomarse el año 1970 con la creación de los primeros IREM: Institutos para la Investigación de la Enseñanza de las Matemáticas, conjuntamente con la publicación de los primeros artículos de Brousseau.

Otro acontecimiento reciente fue la realización del I Congreso Internacional sobre la teoría antropológica de lo didáctico: “Sociedad, Escuela y Matemática: las aportaciones de la TAD”, realizado en octubre del 2005 en Baeza, España. El propósito de este congreso fue reunir a los investigadores que trabajan actualmente en el campo de la TAD (Teoría Antropológica de lo Didáctico) para hacer un balance tanto de los resultados y avance en los últimos 25 años de la investigación fundamental, como del desarrollo del sistema de enseñanza y la formación docente. El comité científico estuvo formado por Artaud, Bosch, Chevallard, Godino, Espinoza, Estepa, Gascón, Orús, Ruiz Higueras y Contreras de la Fuente.

Este conjunto de investigadores son los que contribuyen a una concepción llamada por sus autores "fundamental" de la didáctica, que presenta caracteres diferenciales respecto de otros enfoques: concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la matemática y a teorías específicas de aprendizaje, y búsqueda de paradigmas propios de investigación, en una postura integradora entre los métodos cuantitativos y cualitativos.

Como característica de esta línea puede citarse el interés por establecer un marco teórico original, desarrollando sus propios conceptos y métodos y considerando las situaciones de enseñanza y aprendizaje globalmente. Los modelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor, dentro del contexto particular de la clase.

El primer concepto creado por G. Brousseau, que formó parte de los demás desarrollos, es el de la Teoría de las Situaciones, formulada en su primera fase a principios de los setenta, desarrollada en una segunda fase hasta la publicación de la tesis de Brousseau y seguida por los aportes de Chevallard (1990) en términos de instituciones y de las relaciones con el saber.

Brousseau establece que:

La didáctica de la matemática estudia las actividades didácticas, es decir las actividades que tienen por objeto la enseñanza, evidentemente en lo que ellas tienen de específico de la matemática.

Los resultados, en este dominio, son cada vez más numerosos; tratan los comportamientos cognitivos de los alumnos, pero también los tipos de situaciones empleados para enseñarles y sobre todo los fenómenos que genera la comunicación del saber. La producción o el mejoramiento de los instrumentos de enseñanza encuentra aquí un apoyo teórico, explicaciones, medios de previsión y de análisis, sugerencias y aun dispositivos y métodos.

Presentaremos, a continuación, una síntesis de los principales conceptos ligados a esta línea de investigación, en palabras del propio Brousseau

(...) la teoría de situaciones estudia: la búsqueda y la invención de situaciones características de los diversos conocimientos matemáticos enseñados en la escuela, el estudio y la clasificación de sus variantes, la determinación de sus efectos sobre las concepciones de los alumnos, la segmentación de las nociones y su organización en procesos de aprendizaje largos, constituyen la materia de la didáctica de las matemáticas y el terreno al cual la teoría de las situaciones provee de conceptos y de métodos de estudio. Para los profesores como para los alumnos, la presentación de los resultados de estos trabajos renueva su conocimiento así como la idea que tienen de las matemáticas, y esto incluso si es necesario desarrollar todo un vocabulario nuevo para vincular las condiciones en las que emergen y se enseñan las nociones matemáticas básicas, con la expresión de dichas nociones en la cultura matemática clásica.

Los didactas que comparten esta concepción de la didáctica relacionan todos los aspectos de su actividad con las matemáticas. Se argumenta, para basar ese enfoque, que el estudio de las transformaciones de la matemática, bien sea desde el punto de vista de la investigación o de la enseñanza, siempre ha formado parte de la actividad del matemático, de igual modo que la búsqueda de problemas y situaciones que requieran para su solución una noción matemática o un teorema.

Chevallard y Johsua (1982) describen el SISTEMA DIDÁCTICO en sentido estricto, como formado esencialmente por tres subsistemas: PROFESOR, ALUMNO y SABER ENSEÑADO. Un aporte de la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD) al estudio de los procesos de aprendizaje de las matemáticas en el contexto escolar es la inclusión, en el clásico triángulo didáctico “maestro, alumno, saber”, de un cuarto elemento: el medio.

El medio (milieu) se define como el objeto de la interacción de los alumnos: es la tarea específica que deben llevar a cabo, y las condiciones en que deben realizarla, es decir, el ejercicio, el problema, el juego, incluyendo los materiales, lápiz y papel u otros. En una acepción un poco más amplia, el medio al que el alumno se enfrenta incluye también las acciones del maestro, la consigna que da, las restricciones que pone, las informaciones y las ayudas que proporciona, y podríamos agregar, las expectativas que tiene sobre la acción de los alumnos y que mediante mecanismos diversos, transmite. Es decir, es el subsistema sobre el cual actúa el alumno (materiales, juegos, situaciones didácticas, etc.). Además está el mundo exterior a la escuela, en el que se hallan la sociedad en general, los padres, los matemáticos, etc. Pero, entre los dos, debe considerarse una zona intermedia, la NOOSFERA, que, integrada al anterior, constituye con él el sistema didáctico en sentido amplio, y que es lugar, a la vez, de conflictos y transacciones por las que se realiza la articulación entre el sistema y su entorno. La noosfera es por tanto "la capa exterior que contiene todas las personas que en la sociedad piensan sobre los contenidos y métodos de enseñanza". Estos conceptos tratan de describir el funcionamiento del sistema de enseñanza -y de los sistemas didácticos en particular- como dependientes de ciertas restricciones y elecciones. Asimismo, tratan de identificar dichas restricciones y poner de manifiesto cómo distintas elecciones producen modos diferentes de aprendizaje desde el punto de vista de la construcción por los alumnos de los significados de las nociones enseñadas.

La teoría que estamos describiendo, en su formulación global, incorpora también una visión propia del aprendizaje matemático, aunque pueden identificarse planteamientos similares sobre aspectos parciales en otras teorías.

Se adopta una perspectiva piagetiana, en el sentido de que se postula que todo conocimiento se construye por interacción constante entre el sujeto y el objeto, pero se distingue de otras teorías constructivistas por su modo de afrontar las relaciones entre el alumno y el saber.

El punto de vista didáctico imprime otro sentido al estudio de las relaciones entre los dos subsistemas (alumno-saber). El problema principal de investigación es el estudio de las condiciones en las cuales se constituye el saber, pero con el fin de su optimización, de su control y de su reproducción en situaciones escolares. Esto obliga a conceder una importancia particular al objeto de la interacción entre los dos subsistemas, que es precisamente la situación-problema y la gestión por el profesor de esta interacción.

En la Teoría de Situaciones Didácticas de G. Brousseau se define que una situación didáctica es un conjunto de relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre un alumno o un grupo de alumnos, algún entorno (que puede incluir instrumentos o materiales) y el profesor, con un fin de permitir a los alumnos aprender -esto es, reconstruir- algún conocimiento. Las situaciones son específicas del mismo. Para que el alumno "construya" el conocimiento, es necesario que se interese personalmente por la resolución del problema planteado en la situación didáctica. En este caso se dice que se ha conseguido la devolución de la situación al alumno.

El proceso de resolución del problema planteado se compara a un juego de estrategia o a un proceso de toma de decisiones.

Una situación funciona de manera “adidáctica” cuando el alumno y el maestro logran que el primero asuma el problema planteado como propio, y entre en un proceso de búsqueda autónomo, sin ser guiado por lo que pudiera suponer que el maestro espera. Por otro lado, debido a la peculiar característica del conocimiento matemático, que incluye tanto conceptos como sistemas de representación simbólica y procedimientos de desarrollo y validación de nuevas ideas matemáticas, es preciso contemplar varios tipos de situaciones:

SITUACIONES DE ACCIÓN, sobre el medio, que favorecen el surgimiento de teorías (implícitas) que después funcionarán en la clase como modelos proto-matemáticos. SITUACIONES DE FORMULACIÓN, que favorecen la adquisición de modelos y lenguajes explícitos. En estas suelen diferenciarse las situaciones de comunicación, que son las situaciones de formulación que tienen dimensiones sociales explícitas. SITUACIONES DE VALIDACIÓN, requieren de los alumnos la explicitación de pruebas y por tanto explicaciones de las teorías relacionadas, con medios que subyacen en los procesos de demostración. SITUACIONES DE INSTITUCIONALIZACIÓN: que tienen por finalidad establecer y dar un status oficial a algún conocimiento aparecido durante la actividad de la clase. En particular se refiere al conocimiento, las representaciones simbólicas, etc., que deben ser retenidas para el trabajo posterior. ​

Educación matemática y Etnomatemática:

La educación matemática se preocupa por la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, da las pautas de cómo llevar el proceso educativo (Kilpatrick, Gómez y Rico, 1998), se preocupa de cómo los conceptos abstractos y las destrezas son logrados por los estudiantes, sin importar su trascendencia cultural (Gilmer, 1998). Por otro lado la Etnomatemática es un campo que ha surgido de la Matemática y es considerada por la educación matemática, lo cual representa una respuesta a los problemas del componente cultural de la educación (Gilmer, 1998). Por lo tanto, cuando la educación matemática deja de estar aislada del mundo exterior, trayendo al aula sus aspectos culturales y sociales es el acercamiento de la educación matemática a la Etnomatemática. Según Ubiratan D'Ambrosio, Etnomatemática es una forma de hacer educación matemática. Su trabajo no es pasar al alumno las teorías matemáticas que se encuentra en los textos, es traer la cultura a la escuela, es hacer Matemática usando el ambiente, permitiendo al estudiante aprender la Matemática con sus propias experiencias e intereses. Utilizar juegos, cine, fotos, periódicos y otros, para ver en ellos componentes Matemáticas y relacionarlos con lo que el estudiante ve día a día, de esa forma se puede ver la educación Matemática con ojos que miran distintos ambientes culturales (Blanco, 2008). Usualmente en la clase de Matemática el docente, trabaja contenidos, símbolos, hábitos y costumbres que promueven el aprendizaje de esta ciencia. Cuando esta enseñanza de la Matemática se concibe como un proceso de enculturación se trasmiten las conceptualizaciones y valores de la cultura de una generación a otra, esta trasmisión también trae consigo el fortalecimiento y renovación que aportan las nuevas generaciones (Bishop, 1996).