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Deducción matemática de las leyes de Kepler a partir de las leyes de Newton

La demostración de la primera y segunda ley de Kepler se basa en las leyes de Newton y la ley de gravitación universal.

Sistema de referencia de coordenadas polares

Demostración de la segunda ley de Kepler

Enunciado matemático Sean ${[t_{1},t_{2}]}$, ${[t_{3},t_{4}]}$ dos intervalos de tiempo tal que ${t_{2}-t_{1}=t_{4}-t_{3}}$ y sea $A_{\theta _{1},\theta _{2}}={1 \over 2}\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r^{2}(\theta )d\theta$, $\forall \theta _{1},\theta _{2}$. Entonces, ${A(t_{2}-t_{1})=A(t_{4}-t_{3})}$.

En primer lugar, se fija un sistema de referencia de coordenadas polares:

${\textstyle {\overrightarrow {x}}(t)=r(t)\cdot (cos(\theta (t)),sen(\theta (t)))}$, ${\overrightarrow {u_{r}}}(t)=(cos(\theta (t)),sen(\theta (t)))$, ${\overrightarrow {u_{\theta }}}(t)=(-sen(\theta (t)),cos(\theta (t)))$,

donde ${\overrightarrow {x}}(t)$ denota la posición del cuerpo con masa $m$ en el instante $t$; el cuerpo con masa $M$ está quieto y en el origen; y ${\overrightarrow {u_{r}}}$ y ${\overrightarrow {u_{\theta }}}$ son vectores unitarios en las direcciones radial y circunferencial, respectivamente; y $\theta (t)$ es el ángulo que forma $r(t)$ con el eje polar (eje de referencia desde el que se mide el ángulo polar).

${\overrightarrow {u_{r}}}$ y ${\overrightarrow {u_{\theta }}}$ satisfacen las siguientes propiedades:

${d{\overrightarrow {u_{r}}} \over d\theta }={\overrightarrow {u_{\theta }}}$; ${d{\overrightarrow {u_{r}}} \over dt}={\overrightarrow {u_{r}}}'={\overrightarrow {u_{\theta }}}\theta '$; $\quad {\overrightarrow {u_{r}}}\bot {\overrightarrow {u_{\theta }}}$.

La fuerza ${\overrightarrow {F}}$sobre el cuerpo de masa $m$ se descompone en: ${\overrightarrow {F}}=F_{r}{\overrightarrow {u_{r}}}+F_{\theta }{\overrightarrow {u_{\theta }}}$. Además, como ${\overrightarrow {F}}$ es una fuerza central, $F_{\theta }\equiv 0$.

Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Newton,

$F_{r}{\overrightarrow {u_{r}}}={\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {x}}''(t)$. $[1]$

La velocidad del planeta es la derivada de la posición:

$x'(t)=r'(t){\overrightarrow {u_{r}}}+r(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}$, $[2]$

y su aceleración es la derivada de la velocidad:

${\textstyle {\begin{aligned}x''(t)&=r''(t){\overrightarrow {u_{r}}}+r'(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}+r'(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}+r(t)\theta ''(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}-r(t)\theta '(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{r}}}\\&=(r''(t)-r(t)(\theta '(t))^{2}){\overrightarrow {u_{r}}}+(2r'(t)\theta '(t)+r(t)\theta ''(t)){\overrightarrow {u_{\theta }}}.\\\end{aligned}}}$ $[3]$

Usando $[1]$ y $[3]$:

${\begin{cases}F_{r}=[r''(t)-r(t)(\theta '(t))^{2}]m\\0=2r'(t)\theta '(t)+r(t)\theta ''(t)\end{cases}}$ ${\begin{matrix}[4]\\{[5]}\end{matrix}}$

Multiplicando por $r$ a ambos lados de $[5]$:

$0=2r(t)r'(t)\theta '(t)+r^{2}(t)\theta ''(t)=(r^{2}(t))'\theta '(t)+r^{2}(t)\theta ''(t)=(r^{2}(t)\theta '(t))'$.

Así que $r^{2}(t)\theta '(t)=c$ (constante). $[6]$

Representación del área del sector barrido entre los ángulos $\theta _{1}$ y $\theta _{2}$.

Por otra parte, sea $A_{\theta _{1},\theta _{2}}$ el área del sector barrido entre los ángulos $\theta _{1}$ y $\theta _{2}$:

$A_{\theta _{1},\theta _{2}}={1 \over 2}\textstyle \int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\displaystyle r^{2}(\theta )d\theta$.

Tomemos $\theta _{1}=0$ por simplicidad y denotemos $A_{\theta _{1},\theta _{2}}=A$.

Por el teorema fundamental del cálculo, ${dA \over d\theta }={r^{2}(\theta ) \over 2}$. Como $\theta$ es función de $t$, por $[6]$:

$A'(t)={dA(\theta (t)) \over d\theta }\theta '(t)={r^{2}(\theta (t)) \over 2}\theta '(t)=c$ (constante).

Por lo tanto, $A(t)=ct+k$, para alguna constante $k$.

Se obtiene: $A(t)=ct$.

Aplicando esto a dos intervalos de tiempo de igual longitud, $[t_{1},t_{2}]$ y $[t_{3},t_{4}]$:

$A(t_{2}-t_{1})=(t_{2}-t_{1})c=(t_{4}-t_{3})c=A(t_{4}-t_{3})$. ■

Demostración de la primera ley de Kepler

Enunciado matemático La trayectoria del cuerpo de masa m es una cónica.

Imponiendo que $F_{r}$ cumpla la ley universal de gravitación:

$F_{r}={-{GmM \over r^{2}(t)}}$. $[7]$

Aplicando la segunda ley de Newton y la ley de gravitación universal:

${\overrightarrow {x''}}(t)=-{\Bigl (}G{M \over r^{2}(t)}{\Bigr )}{\overrightarrow {u_{r}}}$. $[8]$

Igualando $[4]$ y $[7]$:

$-{GM \over r^{2}(t)}=r''(t)-r(t)(\theta '(t))^{2}$ . $[9]$

Despejando de la ecuación $[6]$ se obtiene: $\theta '(t)={c \over r^{2}(t)}$, para c constante. $[10]$

Se puede reescribir la ecuación $[9]$ , usando $[10]$, como:

$-{GM \over r^{2}(t)}=r''(t)-{c^{2} \over r^{3}(t)}$. $[11]$

Haciendo el cambio $z(t)={1 \over r(t)}$ y derivando dos veces, obtenemos lo siguiente:

$r'(t)=-{1 \over z^{2}(t)}z'(t)=-{1 \over z^{2}(t)}{dz(t) \over d\theta (t)}\theta '(t)=-c{dz(t) \over d\theta (t)}$,

$r''(t)=-c{d \over dt}{\biggl (}{dz(t) \over d\theta (t)}{\Biggr )}=-c{d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}\theta '(t)$.

Usando $[10]$:

$r''(t)=-c^{2}z^{2}(t){d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}$.

Sustituyendo $r''(t)$ en el lado derecho de $[11]$:

$r''(t)-{c^{2} \over r^{3}(t)}=-c^{2}z^{2}(t){d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}-{c^{2} \over r^{3}(t)}=-c^{2}z^{2}(t){d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}-c^{2}z^{3}(t)$,

y en el lado izquierdo aplicando de nuevo el cambio $z(t)={1 \over r(t)}$:

$-{GM \over r^{2}(t)}=-Gmz^{2}(t)$.

De esta forma, la ecuación $[9]$ se puede escribir como:

$z+{d^{2}z \over d\theta ^{2}}={GM \over c^{2}}$.

Esta ecuación diferencial tiene como únicas soluciones:

$z(\theta )=Acos(\theta -\alpha )+{GM \over c^{2}}$, donde $A$ y $\alpha$ son constantes.

Eligiendo el eje polar de manera que $\alpha =0$:

$r(\theta )={1 \over Acos(\theta )+{GM \over c^{2}}}={{c^{2} \over GM} \over Bcos(\theta )+1}$, donde $B={Ac^{2} \over GM}$.

Haciendo los cambios $e=B$ y $p={1 \over A}$, se obtiene la ecuación de una cónica con foco en el origen:

$r(\theta )={ep \over ecos(\theta )+1}$, donde $e$ es la excentricidad y $p$ es la distancia del foco a la directriz.

Según el valor de $e$, esta cónica puede ser una elipse, una hipérbola o una parábola.

En este caso, si la trayectoria de los cuerpos celestes está acotada, el único caso posible es que sea una elipse, $0<e<1$. ■