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En matemáticas, la variación de parámetros, también conocida como variación de constantes, es un método general ideado por Joseph-Louis de Lagrange para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Para ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden usualmente es posible encontrar soluciones por factor integrante o por coeficientes indeterminados con considerablemente menos esfuerzo, sin embargo, estos métodos son influenciados por heurísticas que involucran adivinar, además de que no funcionan con todas las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

La variación de parámetros extiende de ecuaciones diferenciales parciales, específicamente de problemas con ecuaciones diferenciales no homogéneas hasta la evolución de ecuaciones diferenciales lineales, como lo son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de la plataforma vibratoria. Con esta configuración, el método es más comúnmente conocido como el principio de Duhamel, nombrado después como Jean-Marie Duhamel quién fue el primero que aplicó este método para resolver la ecuación diferencial no homogénea del calor. A veces al método de variación de parámetros a sí mismo es llamado el principio de Duhamel y vice-versa.

Historia

En el contexto de la mecánica celeste, se desarrolló, por primera vez de forma explícita, el método de variación de parámetros por parte del matemático italo-francés Joseph-Louis Lagrange.

Tras una primera versión, 1766​, entre 1778 y 1783, Lagrange lo desarrolló en una serie de memorias publicadas: una sobre la variación del movimiento de los planetas ​ y la otra sobre la determinación de la órbita de un cometa a partir de tres observaciones distintas. Finalmente entre 1808 y 1810, Lagrange dio al método de variación de los parámetros su forma final en una tercera serie de artículos.

Aun así, Lagrange no fue el primero en darse cuenta de la utilidad de la esencia del método, pues había sido empleado anteriormente de forma muy concreta (haciendo uso de la idea de detrás del método sin sistematizarlo) por los matemáticos Johann Bernoulli y Leonhard Euler. Euler lo implementó (de nuevo, indirectamente, pues no era un método per se) en tres investigaciones concretas(1748,1749 y 1753.)​​​

Explicación del método

Consideramos la ecuación lineal de orden $n$

$y^{(n)}+a_{1}(t)\,y^{(n-1)}+\dots +a_{n-1}(t)\,y'+a_{n}(t)\,y=f(t)$ . $\ \ \ (1)$

Dadas $n$ soluciones linealmente independientes $y_{1}(t),\dots ,y_{n}(t)$ de la ecuación homogénea asociada (con $f=0$) queremos encontrar una solución particular de $(1)$. Definiendo

${\vec {x}}:={\begin{pmatrix}y\\y'\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{pmatrix}}\ ,\ A:={\begin{pmatrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &1\\-a_{n}(t)&-a_{n-1}(t)&\cdots &\cdots &-a_{1}(t)\end{pmatrix}}\ \ {\text{y}}\ \ {\vec {b}}:={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\f(t)\end{pmatrix}},$

podemos escribir la ecuación $(1)$ como el sistema lineal no homogéneo de orden 1 siguiente:

${\vec {x}}'=A{\vec {x}}+{\vec {b}}$ $\ \ \ (2)$.

En este caso,

${\vec {x}}_{1}:={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}'\\\vdots \\y_{1}^{(n-1)}\end{pmatrix}}\ ,\ {\vec {x}}_{2}:={\begin{pmatrix}y_{2}\\y_{2}'\\\vdots \\y_{2}^{(n-1)}\end{pmatrix}}\ ,\dots ,\ {\vec {x}}_{n}:={\begin{pmatrix}y_{n}\\y_{n}'\\\vdots \\y_{n}^{(n-1)}\end{pmatrix}}$

son $n$ soluciones linealmente independientes al sistema homogéneo asociado (con ${\vec {b}}=0$), por lo que la solución general de dicho sistema es

$C_{1}{\vec {x}}_{1}+C_{2}{\vec {x}}_{2}+\dots +C_{n}{\vec {x}}_{n}$ con $C_{1},\dots ,C_{n}\in \mathbb {R}$ constates arbitrarias.

Ahora, para buscar una solución particular ${\vec {x}}_{p}$ de $(2)$ , sustituiremos las constantes $C_{1},\dots ,C_{n}$ en la expresión anterior por funciones escalares $u_{1}(t),\dots ,u_{n}(t)$ desconocidas que trataremos de hallar. Es decir, buscamos una solución particular de la forma

${\vec {x}}_{p}=u_{1}{\vec {x}}_{1}+\dots +u_{n}{\vec {x}}_{n}$.

Esto es precisamente lo que constituye la idea del método de variación de parámetros.

Utilizando que ${\vec {x}}_{1},\dots ,{\vec {x}}_{n}$ son soluciones de ${\vec {x}}'=A{\vec {x}}$, se obtiene que

${\vec {x}}'_{p}=(u_{1}'{\vec {x}}_{1}+\cdots +u_{n}'{\vec {x}}_{n})+A(u_{1}{\vec {x}}_{1}+\cdots +u_{n}{\vec {x}}_{n})=(u_{1}'{\vec {x}}_{1}+\cdots +u_{n}'{\vec {x}}_{n})+A{\vec {x}}_{p}$ ,

por lo que si imponemos que ${\vec {x}}_{p}$ sea solución de $(2)$ , se tiene que cumplir que

${\vec {b}}=u_{1}'{\vec {x}}_{1}+\dots +u'_{n}{\vec {x}}_{n}$,

es decir,

$\left\{{\begin{matrix}y_{1}\ u_{1}'\ +\dots +\ y_{n}\ u_{n}'\ =0,\\y'_{1}\ u_{1}'\ +\dots +\ y'_{n}\ u_{n}'\ =0,\\\vdots \\y_{1}^{(n-1)}\ u_{1}'\ +\dots +\ y_{n}^{(n-1)}\ u_{n}'\ =f(t).\\\end{matrix}}\right.\ \ \ \ (3)$

La solución de este sistema es $M^{-1}{\vec {b}}$ donde

$M={\begin{pmatrix}y_{1}&\dots &y_{n}\\y'_{1}&\dots &y'_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots \\y_{1}^{(n-1)}&\dots &y_{n}^{(n-1)}\\\end{pmatrix}}$.

Nótese que $M^{-1}$ existe gracias a que su determinante es distinto de cero, pues $y_{1},\dots ,y_{n}$ son soluciones linealmente independientes de $(1)$. De hecho, el determinante de la matriz $M$ es precisamente el Wronskiano,

$W_{n}\,[y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}]=\left|{\begin{matrix}y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\dots &y'_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\dots &y_{n}^{(n-1)}\\\end{matrix}}\right|.$

Como todas las componentes del vector ${\vec {b}}$ son cero salvo la última, solo hace falta conocer la última columna de $M^{-1}$ , luego la solución $M^{-1}{\vec {b}}$ al sistema $(3)$ es

${\begin{pmatrix}u_{1}'\\u_{2}'\\\vdots \\u'_{n}\end{pmatrix}}={\frac {f(t)}{W_{n}\,[y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}]}}{\begin{pmatrix}(-1)^{n-1}\,W_{n-1}\ [y_{2},y_{3},\dots ,y_{n}]\,\\(-1)^{n-2}\,W_{n-1}\,[y_{1},y_{3},\dots ,y_{n}]\,\\\vdots \\W_{n-1}\,[y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-1}]\,\\\end{pmatrix}}.$

Integrando $u'_{1},\dots ,u'_{n}$ se obtiene explícitamente $u_{i}$ para $i=1\dots n$ y la solución particular buscada de $(2)$ es

${\vec {x}}_{p}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}(t)\,{\vec {x}}_{i}\,(t).$

Como ${\vec {x}}_{i}$ para $i=1\dots n$ tiene como primera componente $y_{i}$, entonces se obtiene que

$y_{p}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}(t)\,y_{i}(t)$

es una solución particular de $(1)$.

Bibliografía

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. Nueva York: McGraw-Hill. 
• Boyce, W. E.; DiPrima, R. C. (1965). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 8th Edition. Wiley Interscience. , pages 186-192, 237-241
• Teschl, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. 
• H. Ibragimov, N. H. I. (Ed.1). (2009). Archives of ALGA (Vol. 6). ALGA publications.
• Simmons, G. F. (2016). Differential equations with applications and historical notes. CRC Press.
• G.F. Simmons: “Differential Equations with Applications and Historical Notes, Third Edition (2016)” :Capítulo 3, Apéndice A. Página 170; Capítulo 12, Apéndice A, Página 606.
• http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/: Parte4, Cap 16,Parte01; Parte 7, Cap25,Parte01; Parte4,Cap16,Parte03_; Parte5,Cap17,Parte02

Enlaces externos

• Online Notes / Proof by Paul Dawkins, Lamar University.
• PlanetMath page.
• Motivation of method via celestial mechanics

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