Este es el taller de Pinar Sacristan . Un taller de usuario es una subpágina de usuario que sirve para iniciar el desarrollo de artículos o realizar pruebas. Esto no es un artículo de la enciclopedia. También puedes realizar pruebas de edición desechables en la zona de pruebas común , o crear otros talleres o subpáginas.
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Dada
A
{\displaystyle A}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
x
(
t
)
=
e
A
t
{\displaystyle x(t)=e^{At}}
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
{\displaystyle {\dot {x}}(t)={A}{x}(t)}
d
d
t
(
e
A
t
)
=
A
e
A
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{At})=Ae^{At}}
Partiendo de la definición de derivada y usando que
e
A
(
t
+
h
)
=
e
A
t
e
A
h
{\displaystyle e^{A(t+h)}=e^{At}e^{Ah}}
∀
t
,
h
∈
R
{\displaystyle \forall t,h\in \mathbb {R} }
d
d
t
(
e
A
t
)
=
lim
h
→
0
e
A
(
t
+
h
)
−
e
A
t
h
=
e
A
t
(
lim
h
→
0
e
A
h
−
I
h
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{At})=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}}=e^{At}{\bigg (}\lim _{h\to 0}{\frac {e^{Ah}-I}{h}}{\bigg )}}
Por consiguiente, la prueba se reduce a demostrar que este límite existe y que
lim
h
→
0
e
A
h
−
I
h
=
A
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{Ah}-I}{h}}=A}
Usando la definición de exponencial de una matriz,
e
A
h
=
I
+
∑
k
=
1
∞
A
k
h
k
k
!
{\displaystyle e^{Ah}=I+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k}}{k!}}}
e
A
h
−
I
h
=
∑
k
=
1
∞
A
k
h
k
−
1
k
!
=
A
+
∑
k
=
2
∞
A
k
h
k
−
1
k
!
{\displaystyle {\frac {e^{Ah}-I}{h}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}=A+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}}
Finalmente, queda demostrar que:
lim
h
→
0
‖
∑
k
=
2
∞
A
k
h
k
−
1
k
!
‖
=
0
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\Bigg \Vert }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}{\Bigg \Vert }=0}
norma matricial y operando sobre la expresión del límite, se llega a que
‖
∑
k
=
2
∞
A
k
h
k
−
1
k
!
‖
=
‖
∑
k
=
1
∞
A
k
+
1
h
k
(
k
+
1
)
!
‖
=
‖
∑
k
=
1
∞
A
k
+
1
A
k
h
k
k
!
‖
=
‖
A
∑
k
=
1
∞
A
k
h
k
(
k
+
1
)
k
!
‖
≤
‖
A
∑
k
=
1
∞
A
k
h
k
k
!
‖
≤
‖
A
‖
‖
e
A
h
−
I
‖
{\displaystyle {\Bigg \Vert }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}{\Bigg \Vert }={\Bigg \Vert }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k+1}h^{k}}{(k+1)!}}{\Bigg \Vert }={\Bigg \Vert }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A}{k+1}}{\frac {A^{k}h^{k}}{k!}}{\Bigg \Vert }={\Bigg \Vert }A\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k}}{(k+1)k!}}{\Bigg \Vert }\leq {\Bigg \Vert }A\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k}}{k!}}{\Bigg \Vert }\leq \Vert A\Vert \Vert e^{Ah}-I\Vert }
Usando la desigualdad triangular y sabiendo que la suma infinita presente en la definición de exponencial es convergente,
‖
e
A
h
−
I
‖
=
‖
∑
k
=
1
∞
A
k
h
k
k
!
‖
≤
∑
k
=
1
∞
‖
A
‖
k
h
k
k
!
=
e
‖
A
‖
h
−
1
{\displaystyle \Vert e^{Ah}-I\Vert ={\Big \Vert }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k}}{k!}}{\Big \Vert }\leq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Vert A\Vert ^{k}h^{k}}{k!}}=e^{\Vert A\Vert h}-1}
Luego se tiene que
lim
h
→
0
‖
(
∑
k
=
2
∞
A
k
h
k
−
1
k
!
)
‖
=
0
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\Big \Vert }(\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}){\Big \Vert }=0}
