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En análisis funcional, el teorema de Kerin-Rutman es una generalización del teorema de Perron-Frobenius a los espacios infinitamente dimensionales de Banach.^[1]Fue probado por Kerin y Rutman en 1948.^[2]

Declaración

Dejar a $X$ ser un espacio de Banach, y dejar $K\subset X$ ser un cono convexo tal que $K-K$ es denso en $X$ , es decir, el cierre del set $\{u-v:u,\,v\in K\}=X$ . $K$ también se conoce como cono total. Dejar $T:X\to X$ ser un operador compacto distinto de cero que es positivo, lo que significa que $T(K)\subset K$ , y asumiendo que su radio espectral $r(T)$ es estrictamente positivo.

Luego $r(T)$ es un valor propio de $T$ con vector propio positivo, lo que significa que existe $u\in K\setminus {0}$ tal que $T(u)=r(T)u$ .

Teorema de De Pagter

Si el operador positivo $T$ se supone que es ideal irreductible, es decir, no hay ideal $J\neq 0$ , $X$ tal que $TJ\subset J$ , entonces el teorema de De Pagter^[3]afirma que $r(T)>0$ .

Por lo tanto, para operadores ideales irreductibles, el supuesto $r(T)>0$ no es necesario.

Referencias

↑ Du, Y. (2006). «1. Krein–Rutman Theorem and the Principal Eigenvalue». Order structure and topological methods in nonlinear partial differential equations. Vol. 1. Maximum principles and applications. Series in Partial Differential Equations and Applications (en inglés). Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 981-256-624-4. MR 2205529.
↑ Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1948). «Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space». Uspehi Matem. Nauk (N. S.) (en ruso) 3 (1(23)): 1–95. MR 0027128. . English translation: Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1950). «Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space». Amer. Math. Soc. Transl. 1950 (26). MR 0038008.
↑ de Pagter, B. (1986). «Irreducible compact operators». Math. Z. 192 (1): 149–153. MR 0835399. doi:10.1007/bf01162028.

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[1] Du, Y. (2006). «1. Krein–Rutman Theorem and the Principal Eigenvalue». Order structure and topological methods in nonlinear partial differential equations. Vol. 1. Maximum principles and applications. Series in Partial Differential Equations and Applications (en inglés). Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 981-256-624-4. MR 2205529.

[2] Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1948). «Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space». Uspehi Matem. Nauk (N. S.) (en ruso) 3 (1(23)): 1–95. MR 0027128. . English translation: Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1950). «Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space». Amer. Math. Soc. Transl. 1950 (26). MR 0038008.

[3] Pagter, B. (1986). «Irreducible compact operators». Math. Z. 192 (1): 149–153. MR 0835399. doi:10.1007/bf01162028.

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