C*-álgebra

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En matemáticas, especialmente en análisis funcional, una C*-álgebra (pronunciado "C estrella álgebra") es un álgebra de Banach con una involución satisfaciendo propiedades similares a las de los operadores adjuntos. Un caso particular es el de un álgebra compleja de operadores lineales continuos sobre un espacio de Hilbert junto a dos propiedades adicionales:

  • es un subespacio cerrado de en la topología generada por la norma de operadores.
  • es cerrada bajo la operación de adjunción de operadores, esto es, si entonces .

Otra clase importante de C*-álgebra corresponde al álgebra de funciones continuas que se desvanecen en el infinito, donde es un espacio de Hausdorff localmente compacto (comúnmente este espacio es denotado como ).

Las álgebras C*-álgebras se consideraron en un principio por su uso en mecánica cuántica. Esta línea de investigación comenzó con los estudios de Werner Heisenberg en mecánica matricial y en una forma más rigurosa por Pascual Jordan en 1933. Posteriormente, John von Neumann intentó establecer un marco general para estas álgebras, que culminó en una serie de artículos sobre anillos de operadores. Estos artículos consideraron una clase especial de C*-álgebras que ahora se conocen como álgebras de von Neumann.

En 1943 el trabajo de Israel Gelfand y Mark Naimark[1]​ produjo una caracterización abstracta de C*-álgebras sin hacer referencia a operadores en un espacio de Hilbert.

Las C*-álgebras son ahora una herramienta importante en la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos, y también se utilizan en formulaciones algebraicas de mecánica cuántica.

Caracterización Abstracta

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La descripción expuesta aquí corresponde a la caracterización dada en el trabajo Gelfand y Naimark en 1943.[1]​ Una C*-álgebra es un álgebra de Banach   sobre el cuerpo de los números complejos, en conjunto con una función   llamada involución que tiene las siguientes propiedades para todo   y   :

  1. Involutiva:  .
  2. Antilineal:   ,  .
  3. Contravariante:  .
  4. Satisface la C* identidad:  .

Si un álgebra de Banach   satisface las condiciones 1, 2 y 3 la llamamos simplemente *-álgebra.

Importante: Existen referencias que llaman a la condición 4 como B* identidad mientras que la C* identidad es considerada como   para todo  . Sin embargo estas dos condiciones son equivalentes y esto ha causado que los términos "B* identidad" o "B*-álgebras" hayan sido dejados de usar con el tiempo.

Un poco de historia: desde la B* identidad hasta la C* identidad

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El término B*-álgebra fue introducido por C. E. Rickart en 1946 para describir *-álgebras de Banach que satisfacen la condición:

  •   for all para todo   en la B*-álgebra (B* condición).

Esta condición automáticamente implica que la *-involución es isométrica, esto es,  . Por lo tanto,  , y así una B*-álgebra es también una C*-álgebra. Así mismo, la C* condición implica la B* condición. Esto es no trivial, y puede ser probado sin usar la condición  .[2]​ Por estas razones, el término B*-álgebra es raramente usado actualmente y ha sido reemplazado por el término 'C*-álgebra'.

El término C*-álgebra fue introducido por I. E Segal en 1947 para describir sub álgebras cerradas (bajo la norma operatorial) de   (espacio de operadores acotados sobre el espacio de Hilbert  ). La letra 'C' proviene por la palabra closed (cerrado en inglés).[3][4]​ En su artículo Segal define una C*-álgebra como un "álgebra uniformemente cerrada de operadores acotados y autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert".[5]

Estructura de las C*-álgebras

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Las c*-álgebras tienen una gran cantidad de propiedad que son técnicamente convenientes. Algunas de estas propiedades pueden ser establecidas usan el cálculo funcional continuo o por reducción a C*-álgebras conmutativas. En el último caso, podemos usar el hecho de que la estructura de éstas está completamente determinada por el isomorfismo de Gelfand.

*-Homomorfismos

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Una función lineal continua   entre C*-álgebras   y   se llama un *-homomorfismo si para todo   se tiene:

  1.  .
  2.  .

Tal función   es automáticamente continua. Si   es biyectiva, entonces su inversa es también un *-homorfismo y   se llama un *-isomorfismo, luego   y   se dicen *-isomorfos. En ese caso,   y   son para todos los propósitos prácticamente iguales; se diferencian solamente en la notación de sus elementos. La estructura de una C*-álgebra fuerza cualesquiera *-homomorfismos a ser contractivos;[6]​ y un *-homomorfismo es inyectivo si y solamente si es isométrico.

Elementos auto adjuntos

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Elementos auto adjuntos son aquellos de la forma  . El conjunto de elementos de una C*-álgebra   de la forma   forman un cono convexo cerrado. Elementos de este cono son llamados no-negativos (o a veces positivos, incluso si esta terminología entra en conflicto con los elementos de  ).

Ejemplos de C*-álgebras

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Álgebra de Operadores

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Como mencionamos, el ejemplo motivante de una C*-álgebra es el álgebra de los operadores lineales continuos   definidos en un espacio de Hilbert complejo  . Definimos la involución   de la siguiente manera: para cada operador   en   definimos   como el operador adjunto de  . Este ejemplo es fundamental ya que cada C*-álgebra es *-isomorfa a una subálgebra cerrada de tal álgebra de operadores para un espacio de Hilbert   conveniente (Teorema de Gelfand-Naimark).

En particular, el álgebra de   matrices sobre   se convierte en una C*-álgebra si utilizamos la norma de operador viendo a la matriz como un operador lineal del espacio  .

C*-álgebras conmutativas

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Un ejemplo de una C*-álgebra conmutativa es el álgebra   de todas las funciones continuas complejo-valoradas definidas en un compacto de Hausdorff  . Aquí la norma de una función es el supremo de su valor absoluto, y la operación estrella es la conjugación compleja. Cada C*-álgebra conmutativa con elemento unidad es *-isomorfa a una tal álgebra   usando la representación de Gelfand.

Si uno parte de un espacio localmente compacto de Hausdorff   y considera las funciones continuas complejo-valoradas en   que se anulan en el infinito (definido en el artículo sobre la compacidad local), entonces éstas forman una C*-álgebra conmutativa  ; si   no es compacto, entonces   no tiene elemento unidad. Una vez más la representación de Gelfand demuestra que cada C*-álgebra conmutativa es *-isomorfa a una álgebra de la forma  .

Álgebras de von Neumann

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Las álgebras de von Neumann, conocidas como W*-álgebras antes de los años 60, son una clase especial de C*-álgebras. Se les requiere ser cerradas en una topología que es más débil que la topología de la norma. Su estudio es una rama en sí misma de las matemáticas, aparte de las C*-álgebras.

Espectro de elementos en una C*-álgebra

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Del mismo modo que para los operadores en un espacio de Hilbert, es posible definir el espectro de los elementos de una C*-álgebra. El espectro de un elemento   (  es una C*-álgebra unitaria con unidad  ) está definido como

 ,

en donde "invertible en  " significa la existencia de un elemento   tal que  . Como se restringe a la invertibilidad en   usualmente se escribe a este subconjunto de   como   (por ejemplo si   es un C*-álgebra que contiene   entonces es claro que  ).

El espectro de cualquier elemento   es un subconjunto cerrado de la bola cerrada en   de radio   y centro  , de modo que es un conjunto compacto. Más aún, el espectro de todo elemento   es no vacío y satisface la fórmula del radio espectral:

 .

Para todo elemento   normal, la norma de   es igual a su radio espectral:

 

Esto se aplica en particular para todo   autoadjunto, por ejemplo para  , donde la norma de   es el cuadrado de aquella de  . De este modo la estructura algebraica determina la norma (y por lo tanto la topología). Es esta propiedad la responsable de que los *-morfismos son automáticamente continuos (particularmente aquellos inyectivos serán isometrías).

El cálculo funcional continuo

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Si   es un elemento normal de una C*-álgebra   (es decir, conmuta con su adjunto), entonces existe un *-isomorfismo isométrico entre el álgebra de las funciones continuas sobre el espectro   de   y la sub-C*-álgebra de   generada por   y  . Dicho de otra forma, para toda función continua   sobre  , podemos definir   de manera única, como un elemento de  . Este cálculo funcional extiende el cálculo funcional polinomial, además   (Teorema Espectral).[7]

La construcción GNS

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Gracias a Gelfand, Naimark y Segal existe la construcción de un isomorfismo *-isométrico (o también llamada una representación fiel) entre toda C*-álgebra, y una subálgebra cerrada del álgebra de operadores sobre un cierto espacio de Hilbert (el cual se construye al mismo tiempo que el isomorfismo). De este modo la teoría de las C*-álgebras puede trasladarse a la teoría de los operadores sobre un espacio de Hilbert.

C*-álgebras y la teoría cuántica de campos

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En teoría cuántica de campos, se describe típicamente un conjunto físico con una C*-álgebra   con elemento unidad  ; los elementos auto-adjuntos de   (elementos   tales que con  ) se interpretan como observables, las cantidades medibles, del sistema. Un estado del sistema se define como una funcional positiva en  , una función  -lineal   con   para todo  , tal que  . El valor esperado del observable  , si el sistema está en el estado  , es entonces  .

Véase también

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Enlaces externos

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Referencias

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  1. a b I. M. Gelfand, M. A. Naimark (1943). «On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space». Matematicheskii Sbornik 12 (2): 197-217. 
  2. Doran y Belfi, 1986, pp. 5–6, Google Books.
  3. Doran y Belfi, 1986, p. 6, Google Books.
  4. Segal, 1947
  5. Segal, 1947, p. 75
  6. Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1964, rééd. J. Gabay, 1996 ISBN 978-2-87647-013-2 (en francés).
  7. E. Fricain, Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs (en francés), Université de Lille-1 (2009-2010).