Carta (matemática)

Carta se incluye en terminología matemática en el sentido cartográfico, el objetivo es el de unir una serie de cartas o “mapas” para que nos permitan definir completamente una atlas o “colección de mapas” de la totalidad de un espacio topológico al que queremos estudiar.

Para una ampliación contextual de la definición vea variedades diferenciables.

Definición de cartas

Dado $M_{}^{}$ un espacio topológico, llamaremos carta de dimensión $m_{}^{}$ en $M_{}^{}$ a un par $(U,\Phi _{}^{})$ tal que la aplicación $\Phi :U={\stackrel {\circ }{U}}\subset M\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ cumpla que $\Phi _{}^{}(U)$ sea un abierto y $\Phi _{}^{}$ sea un homeomorfismo(biyectiva, continua e inversa continua).

Notas

• Diremos que $U_{}^{}$ es un abierto coordenado.
• Si $p\in U$, diremos que $U_{}^{}$ es un entorno coordenado de $p_{}^{}$.

• Si $\Phi (p)=0_{}^{}$, diremos que la carta está centrada en $p_{}^{}$.

Ejemplos triviales

1) Si $M=\mathbb {R} ^{n}$ podemos ver que $(\mathbb {R} ^{n},\;id:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n})$ es carta $\forall n\in \mathbb {N} :n>0$.

2) Si $M=\mathbb {R}$ pordemos ver que $((a,b),\;i:(a,b)\hookrightarrow \mathbb {R} )$ es carta $\forall a,b\in \mathbb {R} :a<b$.

3) Si $M=\mathbb {R}$ podemos ver que $(\mathbb {R} ,\;x\mapsto x^{3})$ es carta, también lo es $x^{2n+1}\forall n>1$.

Demostración:

$\mathbb {R}$ es espacio topológico, $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\exists !x^{3},\exists !{\sqrt[{3}]{x}}$, luego es biyectiva y como es continua tenemos un homeomorfismo.

4) Si $M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C}$ podemos ver que $(S^{1}\ \{i\},\;\phi )$ es carta para:

${\begin{matrix}\phi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}\\&z&\longmapsto &{\theta :=\det -\arg _{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}(z)}\end{matrix}}$.

5) Si $M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C}$ podemos ver que $(S^{1}\ \{i\},\;\psi )$ es carta para:

la proyección estereográfica ${\begin{matrix}\psi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&z&\longmapsto &{x:={\frac {cos(arg(z))}{1-sen(arg(z))}}}\end{matrix}}$.

Caso particular en el que n=2

6) Si $M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ podemos ver que $(S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\},\;\phi )$ es carta para:

${\begin{matrix}\phi :&{S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&(x_{1},\;\dots ,\;x_{n+1})&\longmapsto &{\frac {(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})}{1-x_{n+1}}}\end{matrix}}$.

Bibliografía

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• Datos: Q3828144