Espacio métrico probabilístico

En matemáticas, los espacios métricos probabilísticos son una generalización de espacios métricos donde la distancia ya no toma valores en los números reales no negativos $\mathbb {R} _{\geq 0}$, subo en espacios de funciones de distribución.​

Sea D+ el conjunto de todas las funciones densidad de probabilidad F tales que F(0) = 0 (F es una aplicación continua por la izquierda, no decreciente de $\mathbb {R}$ en $[0,1]$ tal que el max(F) = 1).

A continuación, se da un conjunto no-vacío S y una función F: S ×  S → D+ donde designamos como F(p,  q), en lugar de F_p,q, a cada (p,  q) ∈ S × S. Se dice que el par ordenado (S,  F) es un espacio métrico probabilístico si:

• Para todas las u y v en S, u =  v si y solo si $1=F_{u,v}(x)=1$ para todo $x>0$.
• Para todas las u y v en S, $1=F_{u,v}=F_{v,u}$.
• Para todos los u, v y w en S, $1=F_{u,v}(x)=1$ y $1=F_{v,w}(y)=1\Rightarrow F_{u,w}(x+y)=1$ para $x,y>0$.​

Historia

Los espacios métricos probabilísticos son introducidos inicialmente por Menger, que se denominaron métricas estadísticas. ​ Poco después, Wald criticaría la desigualdad generalizada del triángulo, proponiendo una alternativa a la misma.​ Sin embargo, ambos autores habían llegado a la conclusión de que, en algunos aspectos, la desigualdad de Wald era un requisito demasiado estricto para imponerlo a todos los espacios métricos de probabilidad, lo que se incluye en parte en el trabajo de Schweizer y Sklar. ​ Más tarde, los espacios métricos probabilísticos resultaron ser muy adecuados para ser utilizados con conjuntos difusos ​ y más adelante llamados espacios métricos difusos​

Métrica de probabilidad de variables aleatorias

Una métrica de probabilidad D entre dos variables aleatorias X e Y puede definirse, por ejemplo, como

$$D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|F(x,y)\,dx\,dy$$

donde F(x, y) denota la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X e Y. Si X e Y son independientes entre sí, entonces la ecuación anterior se transforma en

$$D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|f(x)g(y)\,dx\,dy$$

donde f(x) y g(y) son funciones de densidad de probabilidad de X e Y respectivamente.

Se puede demostrar fácilmente que tales métricas de probabilidad no satisfacen el primer axioma métrico o lo satisfacen si, y sólo si, los argumentos X e Y son ciertos eventos descritos por una densidad que sea una delta de Dirac . En este caso:

$$D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|\delta (x-\mu _{x})\delta (y-\mu _{y})\,dx\,dy=|\mu _{x}-\mu _{y}|$$

la métrica de probabilidad simplemente se transforma en la métrica entre valor esperado $\mu _{x}$, $\mu _{y}$ de las variables X e Y.

Para todas las demás variables aleatorias X, Y la métrica de probabilidad no satisface la condición de identidad de indiscernibles requerida para ser satisfecha por la métrica del espacio métrico, es decir:

$$D\left(X,X\right)>0.$$

Métrica de probabilidad entre dos variables aleatorias X e Y, ambas con distribuidas normalmente con la misma desviación estándar $\sigma =0,\sigma =0.2,\sigma =0.4,\sigma =0.6,\sigma =0.8,\sigma =1$ (comenzando con la curva inferior). $m_{xy}=|\mu _{x}-\mu _{y}|$ denota una distancia entre medias de X e Y.

Ejemplo

Por ejemplo, si ambas función de distribución de probabilidad de las variables aleatorias X e Y se distribuyen según una distribución normal (N) y tienen la misma desviación estándar $\sigma$, la integración de $D\left(X,Y\right)$ obtiene:

$$D_{NN}(X,Y)=\mu _{xy}+{\frac {2\sigma }{\sqrt {\pi }}}\exp \left(-{\frac {\mu _{xy}^{2}}{4\sigma ^{2}}}\right)-\mu _{xy}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu _{xy}}{2\sigma }}\right)$$

Dónde

$$\mu _{C}=\left|\mu _{x}-\mu _{I}\right|,$$

y $\operatorname {erfc} (x)$ es la función de error complementaria.

En este caso:

$$\lim _{\mu _{xy}\to 0}D_{NN}(X,Y)=D_{NN}(X,X)={\frac {2\sigma }{\sqrt {\pi }}}.$$

Métrica de probabilidad de vectores aleatorios

La métrica de probabilidad de las variables aleatorias puede extenderse a la métrica D(X, Y) de vectores aleatorios X, Y sustituyendo $|x-y|$ con cualquier operador métrico d(x, y):

$$D(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\int _{\Omega }\int _{\Omega }d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )F(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\,d\Omega _{x}d\Omega _{y}$$

donde F(X, Y) es la función de densidad de probabilidad conjunta de los vectores aleatorios X e Y. Por ejemplo, sustituyendo d(x, y) por métrica euclídea y proporcionando que los vectores X e Y son mutuamente independientes se obtendría que:

$$D(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\sqrt {\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}F(\mathbf {x} )G(\mathbf {y} )\,d\Omega _{x}d\Omega _{y}.$$