Antonio almazan

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Esperamos que pases buenos momentos en Wikipedia.--$k_{n}\,$ ■ 15:03 26 dic 2007 (CET)

Números complejos

Sugerencia: No respondas esto hasta que lo leas y entiendas por completo

Vamos a hacer una analogía hacia el pasado:

En el principio, el hombre sólo conocía los números naturales positivos $1,2,3,4,\ldots$ para representar "dos árboles", "cinco caballos", etc. Pasaron muchísimos años hasta que alguien se diera cuenta de que debía de existir un número que representara la ausencia de las cosas: el cero.

Más aún, sólo apenas hasta 1806 se decidió reconocer a los números negativos. La gente de aquel entonces, afirmaba que $-1$ (menos uno) no podía ser un número. Es decir ¿Qué cosa puede significar "tener -5 vacas" o tener "-3 monedas"? Ahora está sucediendo lo mismo contigo con los números complejos.

La construcción formal de los números es más o menos así (explicado de manera muy fácil y muy breve):

1. Defines los números naturales como los números de la secuencia $0,1,2,3,4,\ldots$, ahí defines una suma y una multiplicación
2. Te das cuenta de que la ecuación $a+x=b~$ no tiene solución cuando $c<a~$, por lo tanto inventas los números negativos $-1,-2,-3,\ldots$
3. Juntas a los números naturales con los negativos y entonces inventas los números enteros... ahí sí tienen solución estas incógnitas e inventas la resta
4. Pero entonces te das cuenta de que la ecuación $a\times x=b$ no tiene solución cuando $b<a~$ y $a>1~$... entonces inventas la división y obtienes los números racionales
5. Cuando pensabas que ya lo tenías todo, descubres con asombro que todavía hay ecuaciones que no tienen solución, como por ejemplo $x^{2}=2~$. Es verdad que puedes aproximar $x$ con tanta precisión como quieras, pero resulta que el valor exacto es imposible representarlo. Peor aún, descubres que hay una infinidad de estos valores como por ejemplo $\pi ~$ (Número pi), $e~$ (Número e) y $\varphi ~$ (Número áureo). Entonces decides inventar los números irracionales
6. Juntas a los número racionales y a los números irracionales y obtienes a los números reales
7. Desafortunadamente esto no acaba ahí, pues resulta que todavía hay ecuaciones sin solución, como por ejemplo $x^{2}=-1~$. Al principio inventas $i~$. Entonces desarrollas toda una teoría acerca de estos valores y los llamas números imaginarios sin ponerle mayor atención
8. Pero un día descubres que estas ecuaciones sí aparecen en la vida real. Los juntas con los números reales y creas los números complejos
9. Harto de haber fallado tantas veces, buscas una ecuación que no tenga solución usando estos números... pero vez que no la hay. Asombrosamente has encontrado el sistema numérico perfecto donde todo tiene solución y todo se puede representar

Claramente tú no sabías nada de esto, pues cuando dices números te refieres específicamente a los números reales, ignorando el hecho de que existen muchas otras clases de números. Espero que esto te sirva como una breve introducción al álgebra.

¡Ah! y otra cosa más: Las matemáticas no son perfectas... tan sólo son un modelo abstracto del mundo real. Cuando el modelo tiene errores (es incongruente) entonces se vuelve a proponer un modelado nuevo que lo substituya. El ejemplo más famoso de esto es la paradoja de Russell, que echó por tierra la teoría de conjuntos de Georg Cantor (que a su vez fue el fundamento de muchos trabajos matemáticos).

--$k_{n}\,$ ■ 23:28 18 dic 2007 (CET)