Álgebra de von Neumann

En matemáticas, un álgebra de von Neumann o W*-álgebra es una *-álgebra de operadores acotados definidos en un espacio de Hilbert que es cerrado en la topología de operadores débil y contiene al operador identidad. Es un tipo especial de C*-álgebra.

Las álgebras de von Neumann fueron introducidas originalmente por John von Neumann, motivadas por su estudio de la teoría del operador único, la representación de grupos, la teoría ergódica y la mecánica cuántica. El teorema del doble conmutador de von Neumann muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como álgebra abstracta de simetrías.

Dos ejemplos básicos de álgebras de von Neumann son los siguientes:

El anillo $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ de funciones medibles esencialmente acotadas de la recta real es un álgebra de von Neumann conmutativa, cuyos elementos actúan como operadores de multiplicación puntual en el espacio de Hilbert $L^{2}(\mathbb {R} )$ de función cuadrado-integrables.

El álgebra ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert ${\mathcal {H}}$ es un álgebra de von Neumann, no conmutativa si el espacio de Hilbert tiene dimensión al menos $2$ .

Las álgebras de Von Neumann fueron estudiadas por primera vez por von Neumann (1930) en 1929; quien junto a Francis Murray desarrolló la teoría básica, bajo el nombre original de "anillos de operadores", en una serie de artículos escritos en las décadas de 1930 y 1940 (Murray & von Neumann (1936, 1937, 1943); y von Neumann (1938, 1940, 1943, 1949)), reimpreso en las obras completas de von Neumann (1961).

Los textos introductorios de álgebras de von Neumann se dan en las notas en línea de Jones (2003) y Wassermann (1991) y los libros de Dixmier (1981),Schwartz (1967),Blackadar (2005) y Sakai (1971). El trabajo de tres volúmenes de Takesaki (1979) da una explicación enciclopédica de la teoría. El libro de Connes (1994) discute temas más avanzados.

Definiciones editar

Hay tres formas comunes de definir las álgebras de von Neumann.

La primera y más común forma es definirlos como *-álgebras unitarias débilmente cerradas de operadores acotados (en un espacio de Hilbert). En esta definición, la topología débil puede ser reemplazada por muchas otras topologías de operador topologías comunes incluyendo las topologías fuertes, ultrafuertes o ultradébiles de operadores. Las *-álgebras de operadores acotados que están cerradas en la topología de la norma son C*-álgebras, por lo que en particular cualquier álgebra de von Neumann es una C*-álgebra.

La segunda definición es que un álgebra de von Neumann es una subálgebra de los operadores acotados cerrados bajo involución (la *-operación) e igual a su doble conmutador, o equivalentemente el conmutador de alguna subálgebra cerrada bajo *. El teorema del doble conmutados de von Neumann (von Neumann, 1930) dice que las dos primeras definiciones son equivalentes.

Las dos primeras definiciones describen un álgebra de von Neumann concretamente como un conjunto de operadores que actúan sobre algún espacio de Hilbert dado. Sakai (1971) demostró que las álgebras de von Neumann también pueden definirse abstractamente como C*-álgebras que tienen un predual; en otras palabras, el álgebra de von Neumann, considerada como un espacio de Banach, es el dual de algún otro espacio de Banach llamado predual. El predual de un álgebra de von Neumann es de hecho único salvo isomorfismos. Algunos autores usan el término "álgebra de von Neumann" para las álgebras junto con una acción espacial de Hilbert, y "W*-álgebra" para el concepto abstracto, por lo que un álgebra de von Neumann es una W*-álgebra junto con un espacio de Hilbert y una acción unitaria fiel adecuada en el espacio de Hilbert. Las definiciones concretas y abstractas de un álgebra de von Neumann son similares a las definiciones concretas y abstractas de una C*-álgebra, que pueden definirse como *-álgebras norma-cerradas de operadores en un espacio de Hilbert, o como *-álgebras de Banach tales que || aa*||=|| a|| || a*||.

Referencias editar

Araki, H.; Woods, E. J. (1968), «A classification of factors», Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. A 4 (1): 51-130, doi:10.2977/prims/1195195263 .MR 0244773
Blackadar, B. (2005), Operator algebras, Springer, ISBN 3-540-28486-9 ., corrected manuscript, 2013 .
Connes, A. (1976), «Classification of Injective Factors», Annals of Mathematics, Second Series 104 (1): 73-115, JSTOR 1971057, doi:10.2307/1971057 .
Connes, A. (1994), Non-commutative geometry, Academic Press, ISBN 0-12-185860-X, (requiere registro) ..
Dixmier, J. (1981), Von Neumann algebras, ISBN 0-444-86308-7 . (A translation of Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars ., the first book about von Neumann algebras.)
Jones, V.F.R. (2003), von Neumann algebras .; incomplete notes from a course.
Kostecki, R.P. (2013), W*-algebras and noncommutative integration, Bibcode:2013arXiv1307.4818P, arXiv:1307.4818 ..
McDuff, Dusa (1969), «Uncountably many II₁ factors», Annals of Mathematics, Second Series 90 (2): 372-377, JSTOR 1970730, doi:10.2307/1970730 .
Murray, F. J. (2006), «The rings of operators papers», The legacy of John von Neumann (Hempstead, NY, 1988), Proc. Sympos. Pure Math. 50, Providence, RI.: Amer. Math. Soc., pp. 57-60, ISBN 0-8218-4219-6 . A historical account of the discovery of von Neumann algebras.
Murray, F.J.; von Neumann, J. (1936), «On rings of operators», Annals of Mathematics, Second Series 37 (1): 116-229, JSTOR 1968693, doi:10.2307/1968693 .. Este artículo da sus propiedades básicas y la división en tipos I, II y III, y en particular encuentra factores que no son del tipo I.
Murray, F.J.; von Neumann, J. (1937), «On rings of operators II», Trans. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 41 (2): 208-248, JSTOR 1989620, doi:10.2307/1989620 .. Este es una continuación del artículo anterior, que estudia las propiedades de la traza de un factor.
Murray, F.J.; von Neumann, J. (1943), «On rings of operators IV», Annals of Mathematics, Second Series 44 (4): 716-808, JSTOR 1969107, doi:10.2307/1969107 .. This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II₁ are isomorphic.
Powers, Robert T. (1967), «Representations of Uniformly Hyperfinite Algebras and Their Associated von Neumann Rings», Annals of Mathematics, Second Series 86 (1): 138-171, JSTOR 1970364, doi:10.2307/1970364 .
Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1 .
Schwartz, Jacob (1967), W-* Algebras, ISBN 0-677-00670-5 .
Shtern, A.I. (2001), «Álgebra de von Neumann», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
Takesaki, M. (1979), Theory of Operator Algebras I, II, III, ISBN 3-540-42248-X .
von Neumann, J. (1930), «Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren», Math. Ann. 102 (1): 370-427, Bibcode:1930MatAn.102..685E, S2CID 121141866, doi:10.1007/BF01782352 .. The original paper on von Neumann algebras.
von Neumann, J. (1936), «On a Certain Topology for Rings of Operators», Annals of Mathematics, Second Series 37 (1): 111-115, JSTOR 1968692, doi:10.2307/1968692 .. This defines the ultrastrong topology.
von Neumann, J. (1938), «On infinite direct products», Compos. Math. 6: 1-77 .. This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the algebras acting on them.
von Neumann, J. (1940), «On rings of operators III», Annals of Mathematics, Second Series 41 (1): 94-161, JSTOR 1968823, doi:10.2307/1968823 .. This shows the existence of factors of type III.
von Neumann, J. (1943), «On Some Algebraical Properties of Operator Rings», Annals of Mathematics, Second Series 44 (4): 709-715, JSTOR 1969106, doi:10.2307/1969106 .. This shows that some apparently topological properties in von Neumann algebras can be defined purely algebraically.
von Neumann, J. (1949), «On Rings of Operators. Reduction Theory», Annals of Mathematics, Second Series 50 (2): 401-485, JSTOR 1969463, doi:10.2307/1969463 .. This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors.
von Neumann, John (1961), Taub, A.H., ed., Collected Works, Volume III: Rings of Operators, NY: Pergamon Press .. Reprints von Neumann's papers on von Neumann algebras.
Wassermann, A. J. (1991), Operators on Hilbert space .

Datos: Q1970172