*-álgebra

estructura matemática

En matemáticas, más específicamente en álgebra abstracta, un *-álgebra (o álgebra involutiva) es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos y , donde es conmutativo y tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre . Las álgebras involutivas generalizan la idea de la conjugación en un sistema numérico, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja, matrices sobre los números complejos y la conjugada traspuesta, y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y el Operador adjunto. Aun así, puede pasar que una álgebra no admite ninguna involución en absoluto.

DefiniciónEditar

*-AnilloEditar

Un *-anillo es un anillo con una función  , el cual es un antiautomorphism y una involución. De una forma más precisa, dados   se cumplen las condiciones [1]

  1. Linealidad:  .
  2. Contravariante:  .
  3. Idempotencia:  .

Esto también puede ser llamado como anillo involutivo o anillo con involución. Note que si el anillo tiene unidad multiplicativa, digamos  , entonces  .

Elementos tales que   son llamados auto-adjuntos.[2]

También, es posible definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos, con el requisito de ser *-invariante, por ejemplo si   es un ideal y   entonces si   diremos que   es un *-ideal.

*-ÁlgebraEditar

Una *-álgebra   es un *-anillo, con una involución * que es una álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo   con involución  , tal que   para todo   y  . A menudo el anillo   corresponde a los números complejos (con   como conjugación compleja).

Sigue de los axiomas que * en   es antilineal en  , es decir,

  para todo  

Un *-homomorfismo   es un homomorfismo de *-álgeras que es compatible con las involuciones de   y   , es decir,   para todo   (donde   y   son las involuciones de   y   respectivamente).[2]

EjemplosEditar

  • Cualquier anillo conmutativo es un *-anillo con la involución trivial (  para todo  ).
  • El ejemplo más familiar de un *-anillo y una *-álgebra sobre los reales  , es el cuerpo de los números complejos   dónde * es la conjugación compleja.
  • Una extensión de cuerpos hecha al adjuntar una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria  ) es una *-álgebra sobre el cuerpo original, considerado como un *-anillo trivial (involucón trivial). La involución * corresponde al cambio de signo de aquella raíz cuadrada.
  • Cuaterniones, números complejos hiperbólicos y números duales. Note que ninguno de estos ejemplos es una álgebra compleja.
  • Los cuaterniones de Hurwitz forman un *-anillo conmutativo.
  • El álgebra de matrices  , donde * corresponde a la transposición.
  • El álgebra de matrices  , donde * corresponde a la traspuesta conjugada.
  • En el álgebra de los operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert  , la operación * corresponde al operador adjunto.

Álgebras sin involuciónEditar

No toda álgebra admite una involución (no trivial). Considerando las matrices 2×2 sobre los números complejos  ,podemos tomar la siguiente subalgebra:

 

Cualquier antiautomorfismo no trivial   necesariamente tiene la forma:

 

para cualquier número complejo  . Luego podemos ver que este antiautomorfismo falla en ser idempotente (esto es,  ):

 

de este modo concluimos que   no admite involución alguna.


Ver tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Weisstein, Eric W. (2015). «C-Star Algebra». Wolfram MathWorld. 
  2. a b Baez, John (2015). «Octonions». Department of Mathematics. University of California, Riverside. Archivado desde el original el 25 March 2015. Consultado el 27 January 2015.