Base de entornos

En Topología, el sistema de entornos de un punto en un espacio topológico es la familia de todos los entornos de en . Una base de entornos o sistema fundamental de vecindades[1]​ en torno a es una familia de entornos de en que determina su sistema de entornos.

El sistema de entornos de guarda, intuitivamente, toda la información topológica del espacio cerca de . A menudo no es necesario trabajar con todos los entornos de un punto, y se toma para ello una base de entornos, que encierra la misma información. Por ejemplo, para comprobar la continuidad de una aplicación en un punto , basta comprobar que la preimagen de cualquier entorno básico de es un entorno de .

También se pueden escoger bases de entornos que cumplan cierta propiedad especial, como ser todos abiertos o compactos. Surgen así propiedades locales de los espacios topológicos como la compacidad local, la arco conexidad local o el primer axioma de numerabilidad.

El sistema de entornos no es sino una instancia del concepto más general de filtro. Desde esta perspectiva, una base de entornos es una base del filtro de entornos.

DefiniciónEditar

Dado un punto  , una base de entornos del punto es una familia   de entornos de   de manera que para cada entorno del punto, existe uno básico contenido. Es decir,   es base de entornos de   si y sólo si:

 

El sistema entero de entornos se recupera a partir de la base de entornos:

 

Clases de bases de entornosEditar

EjemplosEditar

  • En el conjunto   de los reales, con la topología usual, los intervalos abiertos centrados en el punto   originan todos los entornos de   en el siguiente sentido: todo entorno de   contiene un intervalo abierto centrado en  . Es decir, los intervalos abiertos centrados en   son un sistema fundamental de entornos del punto  .
  • Si   es un espacio topológico discreto y   es un punto de  , entonces el conjunto unitario   es un sistema fundamental de vecindades de  .
  • Si   es el plano con la topología común de las bolas abiertas, la colección de todas las bolas centradas en el punto   es un sistema fundamental en torno a  . Asimismo la colección de todas las bolas abiertas con radio racional con centro en  .
  • Para el conjunto  , con la topología del límite inferior,    constituye un sistema fundamental de vecindades para cualquier punto  .
  • En general, la familia de todos los entornos abiertos de un punto es una base de entornos.
  • Una base de entornos cerrados de un punto en un espacio métrico es el conjunto de todas las bolas cerradas de radio positivo centradas en el punto. En un espacio topológico general, tal base no tiene por qué existir. Por ejemplo, para la recta real con la topología cofinita, el único entorno cerrado de un punto es todo el espacio.

Notas y referenciasEditar

  1. Clara Neira. Notas de topología

Véase tambiénEditar