Clausura reflexiva

Sea $R$ una relación binaria aplicada sobre un conjunto $A$, la clausura reflexiva o cierre reflexivo de ${\mathcal {R}}$, denotada $CR({\mathcal {R}})$, es la relación reflexiva más pequeña aplicada sobre $A\,$ que contiene a ${\mathcal {R}}$.

En otras palabras, $CR({\mathcal {R}})$ es la relación binaria que verifica:

1. ${\mathcal {R}}\subseteq CR({\mathcal {R}})$
2. $CR({\mathcal {R}})$ es reflexiva
3. Si ${\mathcal {R}}'$ es una relación reflexiva tal que ${\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {R}}'$, entonces $CR({\mathcal {R}})\subseteq {\mathcal {R}}'$

Nótese que si ${\mathcal {R}}$ es reflexiva, entonces $CR({\mathcal {R}})={\mathcal {R}}$.

Cómo calcularla

Si la relación está dada por su matriz booleana asociada, la clausura reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal.

1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1

Esta última sería la matriz asociada la clausura reflexiva. A partir de esta matriz la relación $CR({\mathcal {R}})$ se construye trivialmente.

Ejemplo

Como ejemplo, si

$$X=\{1,2,3,4\}$$

$$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$$

entonces la relación $R$ ya es reflexiva en sí misma, por lo que no difiere de su cierre reflexivo.

Sin embargo, si alguno de los pares en $R$ estuviera ausente, se insertaría para el cierre reflexivo. Por ejemplo, si en el mismo conjunto $X$

$$R=\{(1,1),(2,2),(4,4)\}$$

entonces el cierre reflexivo es

$$S=R\cup \{(x,x):x\in X\}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}.$$

Véase también

• Clausura simétrica
• Clausura transitiva

• Datos: Q1637549