Concoide de Nicomedes
La concoide de Nicomedes es una curva plana ideada por el matemático griego Nicomedes, que vivió aproximadamente al mismo tiempo que Arquímedes en el siglo II a. C. El nombre de concoide, procedente de la palabra griega "κογχοειδής", hace referencia a que la forma de la curva recuerda al perfil de una concha.[1] Es un tipo de concoide cuyos radios vectores trazados desde un punto fijo cortan a una recta (denominada "base") a una distancia constante.[2]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Conchoid_of_Nicomedes.png/400px-Conchoid_of_Nicomedes.png)
[a] k=2 (azul) [b] k=1 (verde) [c] k=1/2 (rojo)
Dada una recta base paralela al eje polar situada a una distancia d del origen, y una distancia fija k que se sitúa sobre cada radio vector a partir del punto en el que cruza la recta base (tanto por detrás como por delante), la ecuación en coordenadas polares de la concoide de Nicomedes es:
que, en coordenadas cartesianas toma la forma:
La relación entre los parámetros d y k determina el aspecto de las dos ramas de la curva.[3]
Construcción
editarSe fija un punto (llamado polo) y una línea recta distante de . Se considera ahora una segunda línea recta genérica que pasa por , que cruza la línea en . En esta recta, en ambos lados con respecto a se añaden dos segmentos cada uno de longitud . El lugar geométrico de los puntos y obtenidos al rotar la línea recta pasando por se denomina concoide de Nicomedes. La parte de la curva más alejada de (es decir, ) se denomina rama externa; y la otra parte recibe el nombre de rama interna.
Es inmediato comprobar que para un sistema de coordenadas polares, la ecuación de la concoide toma la forma
Haciendo coincidir el punto con el origen de un sistema de ejes cartesianos ; y tomando una recta base paralela al eje a una distancia d del origen, y una distancia k a aplicar sobre los radios vectores, la ecuación cartesiana de la curva es:
Por otro lado, las ecuaciones paramétricas toman la forma:[4]
Construcción de tangentes y normales
editarRené Descartes incluyó en su obra "La Géométrie" (La Geometría)[5] explica un método que permite dibujar la normal y, por lo tanto, la tangente de la concoide de Nicomedes.
Aquí se expone brevemente:
Se desea trazar la normal de una concoide de Nicomedes con polo A y módulo b en un punto C. La línea directriz de esta concoide se llamará (BH), donde B es tal que (AB) y (CH) son perpendiculares a (BH).
- Dibujar el segmento [CE] de modo que E sea la intersección entre las líneas (BH) y (CA).
- Colocar el punto F de manera que F pertenezca a [CE] y CF=CH.
- Colocar el punto G en la línea perpendicular a (BH) y pasando por F de modo que FG=EA.
- La línea (CG) es entonces la normal a la curva en C.
Trisección de un ángulo
editarLa curva se puede utilizar para resolver el problema de la trisección del ángulo. Sea AÔB un ángulo arbitrario. Desde un punto cualquiera del lado se traza la perpendicular al lado , y se considera la concoide construida sobre la recta con respecto al polo de constante . La recta paralela a trazada desde se encuentra con la rama externa de la concoide en . Uniendo con , entonces se tiene que
- AÔC = AÔB
El inconveniente de este procedimiento es que obligaría a trazar una concoide a medida de cada ángulo que se desea trisecar, aunque basta utilizar el método neusis para ajustar una regla con dos marcas (situadas al doble de la distancia OL), entre las rectas y ; que además debe pasar por el origen. Esto no sucede con otras trisectrices (como por ejemplo, la trisectriz de Maclaurin), que permiten trisecar cualquier ángulo con la misma curva.
Demostración
editarSean el punto de intersección de con y el punto medio de . Por la definición de concoide, se tiene que:
y por lo tanto
Por otro lado, es un ángulo recto, luego , como la mediana relativa a la hipotenusa del triángulo rectángulo , es la mitad de la hipotenusa en sí, es decir
- LM = NM = OL.
De ello se deduce que los triángulos , y son isósceles y por tanto:
- LÔM = NML = 2 LĈM
Pero LCM = COA porque son ángulos alternos internos y por lo tanto LÔM = 2 CÔA o también
- BÔA = LÔA = 3 CÔA
como queda demostrado.
Duplicación del cubo
editarLa construcción gráfica que permite determinar el valor de necesario para resolver el problema de la duplicación del cubo, se puede generar mediante el procedimiento siguiente:[6]
- Se parte de la medida dada de la arista del cubo a duplicar, denominada a
- Se construye el rectángulo OABC, cuya base OA mide a y cuya altura AB mide b=2a
- Se determina E, el punto medio de OA, por el que se traza una recta vertical
- Se traza la circunferencia (V) con centro en O y radio a, que interseca a OA en el punto H, y que corta a la recta vertical que pasa por E por debajo de OA en el punto G
- Se traza la recta (L), paralela a GH y que pasa por A
- Ahora, se construye la rama exterior de una concoide de Nicomedes con el punto G como polo, la recta (L) como recta base y la distancia a
- Se determina el punto P como la intersección de la concoide con la recta OA. La recta PB corta a la recta OC en el punto M
- Finalmente, se cumple que la distancia CM es
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ Antonio Nevot Luna (2007). Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar. Ministerio de Educación. pp. 184 de 368. ISBN 9788436945416. Consultado el 26 de marzo de 2021.
- ↑ Real Academia Española. «Concoide». Diccionario de la lengua española (23.ª edición).
- ↑ Weisstein, Eric W. «Concoide de Nicomedes». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- ↑ Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2017. «CONCHOID OF NICOMEDES». mathcurve (en inglés). Consultado el 26 de marzo de 2021.
- ↑ "La Géométrie"; Œuvres de Descartes, éd. Cousin, tomo V.djvu/363
- ↑ El problema de la Duplicación del Cubo Juana Contreras y Claudio del Pino; (Revista del Instituto de Matemática y Física Artículos) Instituto de Matemática y Física. Universidad de Talca
Enlaces externos
editar- Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Concoide de Nicomedes.