Conjetura de Painlevé

En física, la conjetura de Painlevé es una proposición sobre las singularidades entre las soluciones del problema de los n cuerpos, que afirma que existen singularidades sin colisiones para n ≥ 4.[1][2]

La configuración de cinco cuerpos de Jeff Xia consta de cinco masas puntuales, con dos parejas de ellas dispuestas en órbitas elípticas excéntricas una alrededor de la otra y una masa moviéndose a lo largo de la línea de simetría. Xia demostró que para ciertas condiciones iniciales, la masa final será acelerada a velocidad infinita en tiempo finito. Esta configuración permite demostrar la conjetura de Painlevé para cinco cuerpos en el espacio tridimensional.

Fue planteada en 1895 por el matemático y político francés Paul Painlevé (1863-1933).

La conjetura ha sido probada para n ≥ 5 por Jeff Xia.[3][4]​ El caso con 4 partículas sigue siendo un problema abierto.[5]

Antecedentes

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Las soluciones   del problema de los n cuerpos   (donde M son las masas y U indica el potencial gravitatorio) se dice que tienen una singularidad si existe una secuencia de instantes   que convergen a un   finito donde  . Es decir, las fuerzas y aceleraciones se vuelven infinitas en algún instante finito en el tiempo.

Una "singularidad de colisión" se produce si   tiende a un límite definido cuando  . Si el límite no existe, la singularidad se denomina singularidad de pseudocolisión o sin colisión.

Paul Painlevé demostró que para n = 3 cualquier solución con una singularidad de tiempo finito experimenta una singularidad con colisión. Sin embargo, no pudo extender este resultado más allá de 3 cuerpos. Sus conferencias de Estocolmo de 1895 terminan con la conjetura de que:

Para n ≥ 4 el problema de los n cuerpos admite singularidades sin colisión.[6][7]

Desarrollo

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Edvard Hugo von Zeipel demostró en 1908 que si existe una singularidad de colisión, entonces   tiende a un límite definido como  , donde   es el momento de inercia.[8]​ Esto implica que una condición necesaria para una singularidad sin colisión es que la velocidad de al menos una partícula se hace ilimitada (puesto que las posiciones   permanecen finitas hasta este punto).[1]

Mather y McGehee lograron demostrar en 1975 que una singularidad sin colisión puede darse en el problema co-lineal de 4 cuerpos (es decir, con todos los cuerpos en una línea), pero solo después de un número infinito de colisiones binarias (regularizadas).[9]

Donald G. Saari demostró en 1977 que para casi todas las condiciones iniciales (en el sentido de la medida de Lebesgue) en el plano o el espacio para problemas de 2, 3 y 4 cuerpos existen soluciones sin singularidad.[10]

En 1984, Joe Gerver dio un argumento para una singularidad de no colisión en el problema planar de 5 cuerpos sin colisiones.[11]​ Posteriormente encontró una prueba para el caso de cuerpo 3n .[12]

Por último, en su tesis doctoral de 1988, Jeff Xia demostró una configuración de 5 cuerpos que experimenta una singularidad sin colisión.[3][4]

Joe Gerver ha facilitado un modelo heurístico para la existencia de singularidades de 4 cuerpos[13]​ pero en la actualidad no existe ninguna prueba formal.

Referencias

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  1. a b Florin N. Diacu. Painlevé's Conjecture. The Mathematical Intelligencer. Vol 13, no. 2, 1993
  2. Florin Diacu, Philip Holmes, Celestial Encounters: The Origins of Chaos and Stability. Princeton University Press, 1996
  3. a b Zhihong Xia. The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems. Annals of Mathematics. Second Series, Vol. 135, No. 3 (May, 1992), pp. 411–468
  4. a b Donald G. Saari and Zhihong (Jeff) Xia. Off to Infinity in Finite Time. Notices of the AMS, vol 42, no. 5, 1993, pp. 538–546
  5. Edward Belbruno. Capture Dynamics and Chaotic Motions in Celestial Mechanics. Princeton University Press, 2004 p. 8
  6. P. Painlevé, Lecons sur la théorie analytique des équations différentielles, ParisÖ Hermann, 1897
  7. Oeuvres de Paul Painlevé, Tome I, Paris Ed. Centr. Nat. Rech. Sci., 1972
  8. H. von Zeipel, Sur les singularités du problème des corps, Arkiv för Mat. Astron. Fys. 4, (1908), 1–4.
  9. J. Mather and R. McGehee, Solutions of the collinear four-body problem which become unbounded in finite time, Dynamical Systems Theory and Applications (J. Moser, ed.), Berlin: Springer-Verlag, 1975, 573–589.
  10. Donald G. Saari. A global existence theorem for the four-body problem of Newtonian mechanics, J. Differential Equations 26 (1977), 80–111.
  11. J. L. Gerver, A possible model for a singularity without collisions in the five-body problem, J. Diff. Eq. 52 (1984), 76–90.
  12. J. L. Gerver, The existence of pseudocollisions in the plane, J. Diff. Eq. 89 (1991), 1-68.
  13. Joseph L. Gerver, Noncollision Singularities: Do Four Bodies Suffice?, Exp. Math. (2003), 187–198.