Conjunto de Julia

Los conjuntos de Julia, así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa.

Conjunto de Julia, un fractal. C = [0.285, -0.01].

El conjunto de Julia de la una función holomorfa está constituido por aquellos puntos que bajo la iteración de tienen un comportamiento 'caótico'. El conjunto se denota .

En el otro extremo se encuentra el conjunto de Fatou (en honor del matemático Pierre Fatou), que consiste de los puntos que tienen un comportamiento 'estable' al ser iterados. El conjunto de Fatou de una función holomorfa se denota y es el complemento de .

Polinomios cuadráticosEditar

Una familia muy notable de conjuntos de Julia se obtienen a partir de funciones cuadráticas simples:  , donde   es un número complejo. El conjunto de Julia que se obtiene a partir de esta función se denota  .

Un algoritmo para obtener el conjunto de Julia de   es el siguiente:

Para todo complejo   se construye por la siguiente sucesión:

 
 

Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que   pertenece al conjunto de Julia de parámetro  , denotado por  ; de lo contrario,   queda excluido de éste.

En las imágenes anteriores, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge la sucesión (su módulo tiende a infinito): en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto; y en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se pueden calcular infinitos valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los   primeros términos de la sucesión están acotados, el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de   se mejora la precisión de la imagen.

 
Conjunto de Julia en 3D.

Se puede demostrar que si   entonces la sucesión diverge y el punto   no pertenece al conjunto de Julia. Por lo tanto, basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique   para tener la certeza de que   no está en el conjunto.

Existe una relación muy fuerte entre los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot denotado por  , debido a la similitud de sus definiciones:

Se dice que   pertenece a   si y sólo si   es conexo.

Los resultados más vistosos se obtienen al tomar el parámetro   en la frontera de  , pues si   esta en el interior de   resulta que   toma el aspecto de un objeto redondo, poco fractal, y sólo el borde tiene la apariencia de fractal. Por ejemplo si   resulta que el conjunto de Julia es la circunferencia unitaria, con centro en el origen de coordenadas.

En las imágenes, se han tomado como valores de c: -1,3 + 0,00525·i; -0,72 – 0,196·i; -0,1 + 0,87·i y -0,51 – 0,601·i, por razones estéticas.

Se pueden generalizar estos conjuntos tomando otras relaciones de inducción:   con cualquier función compleja  . Se puede también generalizar a cualquier dimensión, y emplear varias funciones en lugar de una sola.


Ejemplos de Conjuntos de JuliaEditar

Véase tambiénEditar

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