Conjunto de Smith-Volterra-Cantor

En matemáticas, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor (SVC) o el conjunto gordo de Cantor (en inglés fat Cantor set) es un ejemplo de un conjunto de puntos en la recta real R que es denso en ninguna parte (en particular, no contiene intervalos), pero que sin embargo tiene medida positiva.

Después de eliminarse los intervalos negros, los puntos blancos que quedan forman un conjunto que no es denso en ninguna parte, de medida 1/2.

Construcción

La construcción de este conjunto es similar a la del conjunto de Cantor. En particular, el proceso consiste en eliminar determinados intervalos del intervalo unidad [0, 1].

En el primer paso, se elimina el intervalo central de longitud 1/4, es decir, se quita 1/8 a cada lado del punto central, 1/2, con lo que el conjunto resultante es

$\left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right]$.

En cada uno de los siguientes pasos, se elimina de cada uno de los $2^{n-1}$ intervalos restantes un subintervalo centrado en él de longitud $1/2^{2n}$. Por tanto, en el segundo paso hay que eliminar los intervalos (5/32, 7/32) y (25/32, 27/32), resultando en el siguiente conjunto:

$\left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right]$.

Si el proceso continúa de forma indefinida, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor es el conjunto de los puntos que nunca han sido eliminados. La siguiente imagen muestra el conjunto inicial y cinco iteraciones de este proceso:

Propiedades

Por construcción, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor no contiene intervalos. Durante el proceso, se eliminan del intervalo inicial intervalos de longitud total

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}(1/2^{2n+2})={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}$.

Esto muestra que el conjunto de los puntos que quedan tiene medida positiva de 1/2.

Otros conjuntos gordos de Cantor

En general, se puede eliminar r_n de cada uno de los subintervalos restantes en la n-ésima iteración del algoritmo para acabar con un conjunto similar al de Cantor. Este conjunto tendrá medida positiva si y sólo si la suma de la sucesión es menor que la medida del intervalo inicial.

Temas relacionados

• El conjunto SVC se utiliza en la construcción de la función de Volterra.​
• El conjunto SVC es un ejemplo de conjunto compacto que no es medible por Jordan.
• La función indicador del conjunto SVC es un ejemplo de función acotada que no es integrable por Riemann en (0, 1). Es más, no es igual en casi todas partes a una función integrable por Riemann.

Referencias

• Datos: Q909569