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Conjunto de Cantor

subconjunto fractal del intervalo real
De izquierda a derecha, sucesivos pasos de la construcción geométrica del conjunto de Cantor. Para ilustrar la definición numérica se destacan cuatro puntos del conjunto (0, 2/3, 1 y 1/4) y su expresión en base 3.

El conjunto de Cantor, llamado así por ser aporte de Georg Cantor[1]​ en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes:

  • la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito 1.
  • la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.

Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida nula, pero no es vacío ni numerable.[2]

Lo que Cantor no sabía era que este conjunto ya había sido estudiado en 1875 por un matemático dublinés, Henry John Stephen Smith (1826-1883). Pero como Smith falleció y su descubrimiento era prácticamente desconocido, fue Cantor el que quedó asociado a este conjunto.[3]

Construcción geométricaEditar

Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos:

  • El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].
  • El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervalo abierto (1/3; 2/3).
  • El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
  • Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.

La figura muestra las siete primeras etapas:

El conjunto de Cantor es el conjunto de los puntos restantes: entre ellos, es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27..., hay una infinidad de puntos: los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los naturales. Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor.

Construcción numéricaEditar

LemaEditar

Sea   una familia no vacía de subconjuntos compactos de un espacio métrico  . Si la intersección de toda subcolección finita de   es no vacía,   también es no vacía.

DemostraciónEditar

Supongamos, por contradicción, que  , donde   denota el conjunto vacío. Para cada  , definamos  abierto de  .

Tomemos algún   fijo. Entonces no existe ningún punto   tal que   para toda  . Así   es una cubierta abierta de  compacto. Por ello existen   tales que

 .

Pero entonces

   
 
 .

Es decir  , lo cual contradice la hipótesis del lema.

Construcción numérica del conjunto de CantorEditar

Sea   el intervalo  . Dividimos este intervalo por tres y separamos el segmento  .

Sea   . Dividimos ambos intervalos, cada uno en tres partes y separamos los tercios centrales.

Sea  .

 

 

 

Continuando de este modo; Obtenemos una sucesión de conjuntos compactos  , tales que:

  1.  
  2.   es la unión de   intervalos, cada uno de longitud  

El conjunto

 

Se llama conjunto de Cantor.[4]

Es interesante destacar que   es claramente compacto por ser cerrado y subconjunto de un conjunto compacto. Además, por el lema anterior,   no es vacío. Asi, ningún segmento de la forma

  donde   y   son enteros positivos

tiene puntos en común con   , ya que son el tipo de segmentos que quitamos en la construcción de este conjunto.

Como todo segmento   contiene a un segmento con la forma anterior, si se cumple que

 

  no contiene a ningún segmento.

PropiedadesEditar

MedidaEditar

Sin embargo, el conjunto es pequeño cuando se considera su longitud: el intervalo inicial [0,1] mide 1, y a cada paso, se le quita un tercio, lo que hace que su longitud se multiplique por 2/3. la sucesión geométrica un = (2/3)n tiende hacia cero, Por lo tanto el conjunto de Cantor es de medida nula. Esto implica, en particular, que el conjunto de Cantor no puede contener ningún intervalo de medida no nula.

CardinalidadEditar

Podemos demostrar el siguiente resultado paradójico: el conjunto de Cantor está en biyección con el segmento [0, 1], es decir, tiene tantos elementos como él.

Para demostrar eso, vamos a construir una función suprayectiva desde el conjunto de Cantor (llamémosle C) al conjunto de los reales [0, 1]. De esta forma, la cardinalidad de C ha de ser no menor que la de [0, 1]. Por otra parte, como C es un subconjunto de [0, 1], C además ha de tener una cardinalidad no mayor. Por tanto se concluye que las cardinalidades de C y [0, 1] han de ser iguales.

La función suprayectiva la construiremos así: Si se considera la escritura en base tres de los números, se nota que, al quitar siempre el segundo tercio de todos los segmentos, se suprime exactamente los números que tienen un 1 en su escritura trienal: el intervalo (1/3; 2/3) corresponde a los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, 02222222222..... en base tres); el intervalo (1/9;2/9) corresponde a los números que empiezan por 0,01, el (7/9;8/9) por 0,21 y así sucesivamente.

La suprayección se construye así: a cada número escrito con sólo ceros y dos se le hace corresponder el número en base dos obtenido remplazando todos sus dos por unos. Por ejemplo, 0,2002 en base tres (que vale 2/3 + 2/81 = 56/81) tiene como imagen 0,1001 en base dos (que vale 1/2 + 1/16 = 9/16).
Se obtiene así todos los números en base dos que empiezan por 0,... y que tienen ceros o/y unos después de la coma: ¡es el intervalo [0,1] entero!

Propiedades topológicasEditar

El conjunto de Cantor es cerrado en los reales, al ser el complemento de la unión de abiertos.[5]​ Al ser también acotado, por aplicación del teorema de Heine-Borel, puede afirmarse que es compacto. Se demuestra que es un conjunto denso en ninguna parte.

AutosimilaridadEditar

El conjunto de Cantor puede considerarse también como el atractor asociado al IFS (sistema de funciones iteradas) formado por las aplicaciones contractivas  , y  , ambas definidas sobre el compacto [0,1].[6]

Observamos que la imagen del conjunto de Cantor por la homotecia de centro 0 y razón 1/3 es una parte del propio conjunto de Cantor. Esto es una manifestación de autosimilaridad, que es una de las propiedades básicas de los fractales. Su dimensión de Hausdorff es menor que uno, concretamente Log(2)/Log(3)=0.631.

GeneralizacionesEditar

En lugar de eliminar en cada paso la tercera parte central, podríamos plantearnos eliminar cualquier otro porcentaje fijo (distinto de 0% o de 100%) de la zona central. Los conjuntos resultantes siguen siendo homeomorfos al conjunto de Cantor. Sin embargo, mientras la longitud del intervalo eliminado sea mayor o igual a la tercera parte, la medida de Lebesgue del conjunto será cero; en otro caso, la medida será positiva (más específico, la medida de Lebesgue es de 1-a, donde a es la razón de longitudes entre el intervalo eliminado en el primer paso y 1/3).

Eliminando porcentajes que disminuyan progresivamente en cada paso, podemos construir conjuntos también homeomorfos al conjunto de Cantor, pero con medida de Lebesgue positiva. Un ejemplo de dicha construcción es el conjunto de Smith-Volterra-Cantor.

VariantesEditar

Polvo de CantorEditar

Un polvo de Cantor es la versión multi-dimensional del conjunto de Cantor. Se puede construir como el producto cartesiano del conjunto de Cantor por sí mismo. Son conjuntos totalmente discontinuos de medida nula, dimensión topológica cero y dimensión fractal entre 0 y 1.

 
Polvo de Cantor bidimensional.
 
Polvo de Cantor tridimensional

Además, en dimensión 2 se define la alfombra de Sierpinski, y en dimensión 3 la esponja de Menger.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Georg Cantor, On the Power of Perfect Sets of Points (De la puissance des ensembles parfait de points), Acta Mathematica 4 (1884) 381--392. English translation reprinted in Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  2. Galavíz Casas, José (1.996). «El conjunto de Cantor» (pdf). Miscelanea Matemática (México) 24: 23-37. ISSN 1665-5478. Consultado el 25/05/2.012. 
  3. GRIBBIN, John. Así de Simple. El caos, la complejidad y la aparición de la vida. Madrid, Critica. ISBN 84-8432-716-7
  4. Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Education. ISBN 007054235X
  5. L. A. Steen, J. A. Seebach. Counterexamples in topology. Courier Dover Publications, 1995. ISBN 0-486-68735-X
  6. M. Barnsley. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9.