Cosenos directores

En cálculo vectorial, los cosenos directores de un vector en el espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{3}$ son los valores del coseno de sus ángulos de dirección, es decir, el ángulo entre el vector y los tres vectores de base canónica ${\vec {e}}_{1}$, ${\vec {e}}_{2}$, ${\vec {e}}_{3}$ .​

vector ${\vec {v}}$ con los ángulos de dirección $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$ .

Propiedades

Para el vector ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$, los cosenos de dirección son

$\cos \alpha _{1}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{1}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{1}|}}={\frac {v_{1}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{1}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}$ ,

$\cos \alpha _{2}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{2}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{2}|}}={\frac {v_{2}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{2}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}$ ,

$\cos \alpha _{3}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{3}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{3}|}}={\frac {v_{3}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{3}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}$ ,

tal y como se puede ver en los triángulos de colores de la figura adyacente. El vector ${\vec {v}}$ puede expresarse por su magnitud y la dirección de los cosenos,

${\vec {v}}=|{\vec {v}}|{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}$ .

Cuando se divide por $|{\vec {v}}|$, se puede ver que los cosenos de dirección son precisamente las componentes del vector unitario ${\vec {e}}_{v}$ en la dirección de ${\vec {v}}$,

${\vec {e}}_{v}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}$ .

Puesto que $|{\vec {e}}_{v}|=1$, se tiene que

$\cos ^{2}\alpha _{1}+\cos ^{2}\alpha _{2}+\cos ^{2}\alpha _{3}=1$ .

Dado que los ángulos de dirección están limitados al rango entre $0$ y $\pi$ y el coseno es reversible en este intervalo, los tres ángulos de dirección se dan también con los cosenos de dirección.